3. Нестационарная одномерная теплопроводность

Что касается общего дифференциального уравнения для , то теперь мы умеем, по крайней мере, в одномерном случае аппроксимировать диффузионное и источниковое слагаемые. Обратимся к нестационарному слагаемому (локальному изменению) и временно опустим источниковое слагаемое, так как в данном случае нет необходимости говорить о нём. Таким образом, ищем решение нестационарного одномерного уравнения теплопроводности

(4.30)

Обобщённый дискретный аналог. В дальнейшем для удобства будем полагать с постоянным (позже мы постараемся ответить на вопрос, как уравнение теплопроводности можно модифицировать с учётом переменной теплоёмкости).

Поскольку время является однонаправленной координатой, решение получаем продвигаясь по времени от заданного начального распределения температуры. Таким образом, на типичном временном шаге по заданным значениям Т в узлах для времени  надо определить значения Т для времени  +  . Старые (заданные) значения Т в узлах обозначим T_P⁰, T_E⁰, T_W⁰, а новые (неизвестные) значения для времени  +    T_P¹, T_E¹, T_W¹.

Дискретный аналог получим путём интегрирования уравнения (4.30) по контрольному объёму, показанному на рис. (4.4). Таким образом,

(4.31)

где пределы интегрирования выбраны в соответствии с физическим смыслом слагаемых. Для представления производной Т/ предположим, что значение Т в узловой точке распространено на весь контрольный объём, тогда

(4.32)

Следуя способу аппроксимации выражений типа (T/ x) в стационарном случае, получаем

(4.33)

На данном этапе необходимо ввести предположение относительно изменения во времени от  до  +   температур T_P, T_E и T_W. Возможны различные предположения, и одно из них имеет следующий вид:

(4.34)

где  - весовой коэффициент, изменяющийся от 0 до 1. Используя аналогичные соотношения для интегралов от T_E до T_W из уравнения (4.33), находим

(4.35)

Преобразуя это выражение, опустим верхний индекс 1 и запомним, что T_P, T_E, T_W с этого момента будут обозначать новые значения T для времени  + +  . В результате имеем

(4.36)

где

(4.37)

Явная, Кранка – Николсона и полностью неявная схема. Для определённых конкретных значений весового коэффициента  дискретный аналог приводится к хорошо известным схемам для параболических дифференциальных уравнений. В частности, для  = 0 получаем явную схему, для  = 0,5 – схему Кранка – Николсона и для  = 1 – полностью неявную схему. Кратко рассмотрим эти схемы и покажем, что неявная схема наиболее предпочтительна.

Различные значения  можно интерпретировать, как характеристику изменения Т_Р от , показанного на рис. 4.5. Явная схема по существу предполагает, что старое значение Т_Р⁰ существует в пределах всего временного шага, за исключением точки  +  . Неявная схема предполагает, что в момент  Т_Р резко уменьшается от Т_Р⁰ до Т_Р¹, а затем остаётся равной Т_Р¹ на всём временном шаге и температура в пределах временного шага характеризуется новым значением Т_Р¹. Схема Кранка – Николсона предполагает линейное изменение Т_Р. С первого взгляда линейное изменение должно быть более разумным, чем две другие альтернативы. Почему же мы предпочитаем неявную схему? Ответ будет очень коротким.

Для явной схемы ( = 0) уравнение (4.36) принимает следующий вид:

(4.38)

Это означает, что T_P не зависит от других неизвестных, таких, как T_E или T_W, а является явно определённой по известным температурам T_P⁰, T_E⁰, T_W⁰. Поэтому схема и называется явной. Любая схема с   0 должна быть неявной, так как T_P зависит от неизвестных T_E и T_W, в этом случае необходимо решать одновременно несколько уравнений. Удобство явной схемы в этом отношении компенсируется, однако, рядом ограничений. Анализируя (4.38) и вспоминая основное правило о положительности коэффициентов (правило 2), замечаем, что коэффициент при T_P⁰ может принимать отрицательные значения (значение T_P⁰ рассматривается как соседнее с T_P по временной координате). Действительно, для того, чтобы этот коэффициент был положительным, шаг по времени должен быть достаточно малым, т.е. a_P⁰ > > a_E + a_W . Для постоянного коэффициента теплопроводности и  x = ( x)_e = = ( x)_w это условие запишется в виде

    с ( x)²/(2) или (4.39)

где а = /(c ) – коэффициент теплопроводности. Если это условие нарушается, то могут возникнуть физически неправдоподобные результаты, так как из отрицательности коэффициента следует, что увеличение T_P⁰ приводит к уменьшению T_P. Уравнение (4.39) является хорошо известным критерием устойчивости явной схемы. Следует заметить, что этот результат можно получить из физических соображений, основанных на одном из четырёх основных правил. Особенностью условия (4.39) является то, что уменьшение  x для улучшения точности аппроксимации по пространственной координате вынуждает использовать намного меньшие   .

Обычно схема Кранка – Николсона считается безусловно устойчивой. Иногда это объясняют исходя из того, что физически реальное решение будет получаться независимо от значения шага по времени. Однако в этом случае могут иметь место колеблющиеся решения. Устойчивость в математическом смысле просто гарантирует, что эти колебания будут, в конечном счёте, затухать, но это не обеспечивает физически правдоподобного решения.

В рамках нашей модели такое поведение легко объясняется. Для  = 0,5 коэффициент при T_P⁰ в уравнении (4.36) становится равным a_P⁰ – (a_E + a_W)/2. Для постоянного коэффициента теплопроводности и равномерной сетке этот коэффициент, как видно, равен  c  x/   / x (Fo_c  1). Когда шаг по времени недостаточно мал, этот коэффициент может становиться отрицательным, что делает возможным физически неправдоподобный результат. По-видимому, приемлемый линейный профиль на рис. 4.5 является хорошим представлением температурно-временной зависимости только для малых временных интервалов. В пределах больших интервалов по существу экспоненциальное уменьшение температуры аналогично резкому снижению профиля в начале с последующим плоским концом. Допущения, сделанные для полностью неявной схемы, в этом случае ближе к действительности, чем линейный профиль, используемый в схеме Кранка – Николсона, особенно для больших временных шагов.

Если потребовать, чтобы коэффициент при Т_Р в уравнении (4.36) не был отрицательным, то только постоянная величина  = 1 обеспечит это условие (конечно, это не имеет смысла для   1). Таким образом, полностью неявная схема ( = 1) удовлетворяет требованию простоты и физически обоснованного поведения. Именно по этой причине будем рассматривать далее полностью неявную схему.

Следует признать, что для малых шагов по времени полностью неявная схема не так точна, как схема Кранка – Николсона. Причина этого видна из рис. 4.5; температурно-временная кривая близка к линейной для малых временных интервалов. Имеется схема, в которой используются достоинства обеих схем и не содержатся их недостатки – это экспоненциальная схема. Эта схема, однако, несколько сложна, поэтому не рассматривается в нашем курсе.

Полностью неявный дискретный аналог. Запишем уравнение (4.36) в полностью неявном виде. Для этого введём линеаризованное источниковое слагаемое, которое примем уменьшающимся во времени. В результате получим

a_PT_P = a_ET_E + a_WT_W + b, (4.40)

где

(4.41)

Видно, что при     это уравнение приводит к стационарному дискретному аналогу.

Основным принципом полностью неявной схемы является то, что в пределах всего шага по времени температура принимается равной новому значению Т_Р. Таким образом, если коэффициент теплопроводности _Р зависит от температуры, он должен пересчитываться через Т_Р в итерационном процессе точно так же как и при решении стационарной задачи. Другие моменты процедуры решения стационарной задачи, такие, как аппроксимация граничных условий, линеаризация источникового слагаемого, TDMA и др. в равной степени применимы к нестационарной задаче.

Детальное рассмотрение одномерной задачи даёт набор приёмов для перехода к двум и трём измерениям.