6.7. Модифицированный алгоритм simpler

Применение алгоритма SIMPLE в изложенной формулировке к широкому кругу задач позволило сделать вывод о том, что введение P ' эффективно подстраивает поле скорости, но не позволяет получить быструю сходимость для давления. Для исправления этого недостатка С. Патанкар предложил алгоритм SIMPLER (SIMPLE Revised).

Причина разработки модифицированного варианта. Приближение, принятое при выводе уравнения для P ' (отбрасывание слагаемого a^u_nbU_nb'), даёт несколько завышенную поправку для давления, и, следовательно, становится необходимым использование метода нижней релаксации. Поскольку влияние поправок скорости в соседних близлежащих точках не присутствует в формуле для поправки скорости, то поправка давления содержит полный набор значений скорости, которые корректируются, и это сказывается на полях корректируемого давления. В большинстве случаев разумно предположить, что уравнение для поправки давления корректирует значение скорости, но не давления.

Учитывая это, рассмотрим очень простую задачу, в которой имеется поток с постоянной плотностью и заданной скоростью на входной границе. Нетрудно видеть, что скорость в этой задаче определяется только уравнением неразрывности и, следовательно, удовлетворяющее уравнению неразрывности поле скорости, полученное в конце первой итерации, будет окончательным. Однако рассчитанное давление вследствие приближённого характера уравнения для P ' далеко от окончательного решения. Прежде чем будет получено сходящееся поле давления, следует сделать много итераций, хотя корректное поле скорости получается намного раньше.

Если применять уравнение для поправки давления только для коррекции скоростей и обеспечивать некоторые другие способы получения улучшенного поля давления, то получим более эффективный алгоритм. Это и составляет существо алгоритма SIMPLER.

Уравнение для давления. Уравнение для отыскания поля давления можно получить следующим образом: дискретный аналог уравнения движения в проекции на ось х (6.11) сначала запишем как

(6.75)

где d_j,k определено соотношениями (6.71). Найдём теперь псевдоскорость :

(6.76)

Заметим, что определяется скоростями в соседних близлежащих точках и не содержит давления. В этом случае уравнение (6.75) принимает вид

(6.77)

Аналогично запишем

(6.78)

Легко заметить сходство между этими уравнениями и уравнениями типа (6.70). Здесь , появляются вместо U*, V* и само давление P занимает место P '. Отсюда следует, что если бы ранее проделанный вывод был выполнен с новыми соотношениями для скорости и давления, содержащими , , то результатом было бы уравнение для давления. Его можно записать в виде

(6.79)

где коэффициенты заданы согласно (6.72,а) и b определено соотношением

(6.80)

Следует заметить, что выражение для b является только разностью между уравнением для давления (6.80) и уравнением для поправки давления (6.72). Несмотря на то, что уравнение для описания давления и уравнение для поправки давления почти идентичны, имеется одно важное отличие: при выводе уравнения для давления не вводились допущения. Таким образом, если корректное поле скорости использовалось для расчёта псевдоскоростей, то уравнение для давления сразу будет давать корректное значение давления.

Алгоритм SIMPLER. Модифицированный алгоритм включает решение уравнений для давления с целью получения поля давления и решение уравнений для поправленного давления только с целью корректировки скоростей. Можно установить следующую последовательность действий:

1. вводится предположение о поле скорости V;

2. определяется поле скорости из решения уравнений (6.65) и (6.66), в которых слагаемые, содержащие давление, исключены;

3. решается уравнение (6.79) для определения давления P;

4. значение P (найденное на шаге 3) подставляется вместо P^* в (6.65) и (6.66). Полученные уравнения решаются методом SIMPLE, в результате чего находят значение V ^*;

5. уравнение (6.72) решается для определения Р '. В результате определяется V ^{n + 1} = V ^* + V ', где V вычисляют по соотношениям (6.70). Значение P ^{n + 1}, полученное на шаге 3, не уточняется;

6. решить, если это необходимо, дискретные аналоги для других ;

7. Вернуться к пункту 2 и повторять расчёты до тех пор, пока не будет достигнута сходимость.

Хотя в методе SIMPLER приходится дважды решать уравнение Пуассона и уравнения баланса импульсов на каждой итерации, и число операций на каждой итерации увеличивается по сравнению с методом SIMPLE, для сходимости достаточно нескольких итераций. В результате алгоритм SIMPLER оказывается на ~ 50% более эффективным.

Пример 6.2. Ниже на рис. 6.10 и 6.11 в качестве примера реализации метода SIMPLER приведены результаты расчёта полей скорости и давления в канале переменного поперечного сечения. Средняя расходная скорость на входе в канал составляла 2 м/с, давление в выходном сечении было равно атмосферному.

Рис. 6. 10.

Рис. 6.11.