В копилку опыта

• В

  

  задачах с абстрактным содержанием (нет конкретных чисел) нужно иметь в виду любые возможные значения используемых величин. Допустимы и некоторые разумные ограничения. В данной задаче время t предполагается не очень большим, чтобы можно было пренебречь зависимостью g от высоты полета.

• Задача разбивается на две подзадачи: о движении с ускорением и о движении с ускорением .

• При движении с ускорением свободного падения не следует отдельно анализировать сначала движение вверх, затем вниз: формулы (4.6) – (4.8) описывают все это движение в целом.

• Не всегда удается так подобрать используемые формулы, чтобы ответы получались в одну строчку; приходится составлять и решать систему взаимосвязанных уравнений.

• Если оба корня квадратного уравнения положительны, это не означает, что оба они удовлетворяют условию задачи. Нужно присмотреться к ним внимательнее.

§ 8. Чудеса зазеркалья

Задача 8. 1*. На расстоянии L от вертикальной стены с высоты H параллельно полу и перпендикулярно стене брошен мяч. Какова должна быть начальная скорость мяча, чтобы после абсолютно упругого удара он коснулся пола на расстоянии от стены большем, чем L?

К ак и в предыдущей задаче, мяч можно считать частицей и пренебречь сопротивлением воздуха. Это позволяет выделить две подзадачи: о движении на участке траектории AB и о движении на участке BC (рис. 7). Оба движения происходят с постоянными ускорениями , но начинаются в различных точках пространства и с различными скоростями.

М ожно записать дополнительные уравнения, связывающие начальные условия выделенных подзадач и решать полученную систему уравнений. Решите задачу, следуя этому плану, самостоятельно. «Не так страшен черт, как его малюют». Этим займетесь позже, а сейчас поищем обходные пути, ведущие к более рациональному способу решения. Для этого подумаем, что можно извлечь из содержащегося в условии указания на «абсолютно упругий удар».

Опыт игры с мячом у стены и наблюдение за движением биллиардных шаров позволяет догадаться о смысле этого указания. Имеется в виду неизменность модуля скорости и угла ее наклона к стене при ударе, то есть v₁ = v₂ = v и ₁ = ₂ =  (рис. 7). Более обстоятельно содержание понятия «абсолютно упругий удар» и происхождение указанных условий можно выяснить, анализируя удар с помощью законов изменения механической энергии и импульса.

Условие, связывающие скорости ₁ и ₂ при абсолютно упругом ударе означает, что геометрический вектор ₂ зеркально симметричен вектору ₁ относительно плоскости стены (рис.7). Нельзя ли воспользоваться этой симметрией для упрощения решения задачи?

Попытаемся рассмотреть более простую задачу, изменив условие. По какой траектории двигался бы мяч, если бы не было стены? По параболе ABD. Чем отличается участок траектории BD от участка BC? Кажется, он зеркально симметричен BC. Докажем (или опровергнем) это предположение.

Симметрия этих участков будет доказана, если выяснится, что за одно и то же время в обоих случаях мяч опускается на одну и ту же величину вниз, удаляясь от плоскости стены на одинаковые расстояния, но в противоположные стороны. Применяя формулу (4.6), найдем для перемещений за время t:

– проекция на ось y (рис. 7) перемещения вдоль BD равна

v₁ t cos ₁+ g t² / 2 = v t cos  + g t² / 2;

– проекция на ту же ось перемещения вдоль BC равна

v₂ t cos ₂+ g t² / 2 = v t cos  + g t² / 2;

– проекция на ось x (рис. 7) перемещения вдоль BD равна

v₁ t sin ₁ = v t sin ;

– проекция на ту же ось перемещения вдоль BC равна

– v₂ t sin ₂ = – v t sin .

Сравнивая эти выражения, убеждаемся в справедливости высказанного предположения о симметрии траекторий движения по участкам BD и BC.

Как можно использовать эту симметрию? Можно истинное движение (по участку BC) заменить движением «в зазеркалье» (по участку BD). Что за движение на всем пути ABD получится при такой замене? Получится такое же движение мяча, как и в отсутствии стены. Задача свелась к более простой задаче, эквивалентной заданной: с какой скоростью v нужно бросить мяч в горизонтальном направлении на высоте H, чтобы он удалится в этом направлении дальше, чем 2 L.

Чтобы решить полученную более простую задачу, достаточно применить уравнение (4.6) для перемещения (см. рис. 7) в проекции на ось x и на ось y:

S_X = v₀ t > 2 L; (8.1)

S_Y = H = g t² / 2 . (8.2)

Исключая время t, получим

t =  v₀ > L (8.3)