В копилку опыта

• У

  

  скорение свободного падения зависит от широты местности: оно уменьшается при переходе от полюса к экватору. Аналогично меняется и сила тяжести. Обусловлено это вращением планеты.

• Чтобы учесть эффекты, связанные с вращением планет, в качестве инерциальной нужно брать систему отсчета «Звезды».

§ 16. Не поскользнуться бы

С силой трения между твердыми телами мы сталкиваемся буквально на каждом шагу. Без ее участия не обходится движение любого механизма. Естественно, с этой силой приходится встречаться при решении многих задач.

Задача 16. 1*. При каком минимальном коэффициенте трения между обувью и беговой дорожкой спринтер может пробежать стометровку за 10 с, если он увеличивает свою скорость лишь на первых 20 м дистанции?

Н а рисунке 28 показаны: перемещение ₁ на участке разгона, где спортсмен в течение времени t₁ движется с ускорением ; все перемещение за время t; сила тяжести m ; сила нормальной реакции ; сила тяги , развиваемая спортсменом при разгоне.

К аков механизм возникновения силы тяги? Спортсмен отталкивается от беговой дорожки. Иначе говоря, он действует на дорожное покрытие силой трения, направленной назад, вследствие чего по третьему закону Ньютона на спортсмена со стороны дороги действует сила трения покоя, направленная вперед. Последняя и представляет собой силу тяги.

Можно ли в данной задаче применить известные вам законы динамики? Можно, поскольку модель частицы для спортсмена в данном случае приемлема. Для какого этапа движения следует применить законы Ньютона? Сила трения, коэффициент которой нужно найти, имеет наибольшее значение на участке разгона, для него и следует записывать уравнения динамики.

Какую систему отсчета нужно выбрать? Естественно использовать систему «Стадион». Именно относительно нее задаются характеристики движения спортсменов. Эта система отсчета инерциальная, так что в ней можно записывать уравнение второго закона Ньютона.

В выбранной инерциальной системе отсчета запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось x (рис. 28):

F = m a. (16.1)

Интересующая нас сила тяги F равна максимальной силе трения покоя, определяемой формулой (13.8),

F =  N. (16.2)

Сила нормальной реакции N находится из уравнения второго закона Ньютона, записанного для оси y (рис. 28),

N = m g. (16.3)

Для нахождения ускорения a используем кинематическое уравнение (4.7) (рис. 28):

v₁ = a t₁. (16.4)

Следует применить также кинематическое уравнение (4.6) для перемещений ₁ и (рис. 28):

S₁ = a t₁² / 2 , (16.5)

S – S₁ = v₁ (t – t₁). (16.6)

Найдите из полученной системы уравнений величину  и сравните с ответом:

 =  0,36. (16.7)

Из (16.7) следует, что величина  должна быть тем больше, чем за меньшее время t спортсмен намерен пробежать дистанцию, иначе он может поскользнуться на старте.

В копилку опыта

• С

  

  ила тяги, развиваемая человеком, также как и двигателем автомобиля, определяется силой трения (силой сцепления с дорожным покрытием).

• При решении многих задач механики законы Ньютона применяются совместно с уравнениями кинематики.

Задача 16. 2. С какой скоростью может ехать мотоциклист по закруглению горизонтальной дороги, если радиус закругления – r, а коэффициент трения колес о дорогу – ? На какой угол от вертикального положения он при этом должен наклониться?

Н а рисунке 29 схематически изображен мотоциклист, скорость которого направлена за плоскость рисунка. Он поворачивает направо, вследствие чего движется с центростремительным ускорением . На мотоциклиста действует дорога с силой , которую целесообразно представить в виде двух составляющих:

= + _ТП . (16.8)

Составляющая Направлена вертикально. Она обусловлена деформацией полотна дороги. Составляющая _ТП – сила трения покоя. Она направлена в сторону, противоположную возможному перемещению колеса относительно дороги. Если бы трение исчезло, то колесо соскользнуло бы налево, поскольку мотоциклист по инерции удалялся бы от центра кривизны траектории.

Сила тяжести m приложена в центре масс (центре тяжести) мотоциклиста с мотоциклом.

Можно ли считать мотоциклиста частицей? Вообще говоря, нет, поскольку о наклоне на угол  можно говорить только для тела конечных размеров. Как же в этом случае поступать? Вспомним, чем замечательна точка, называемая центром масс. Если бы в ней была сосредоточена масса всей системы, то получившаяся в результате этого частица двигалась бы так же, как эта точка. Так что законы Ньютона можно приинять к частице, обладающей массой всей системы и находящейся в центре масс. Но мало знать, как движется центр масс, нужна информация о движении всех остальных точек. Если речь идет об абсолютно твердом теле (таковым будем считать мотоциклиста с мотоциклом), то оно может вращаться в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром масс (Ц-системе). Вращение мотоциклиста в Ц-системе означает его падение. Чтобы этого не произошло, сумма моментов всех сил, приложенных к мотоциклисту, относительно центра масс должна быть равна нулю. Тогда все точки будут двигаться так же, как и центр масс. Только в этом случае мотоциклиста можно считать частицей и применять к нему законы Ньютона.

Применим второй закон Ньютона для мотоциклиста, считая его частицей, движущейся с центростремительным ускорением a = v² / r. В проекции на ось x (рис. 29) получим

m v² / r = F_ТП , (16.9)

а в проекции на ось y –

0 = N – m g . (16.10)

Поступательное движение мотоциклиста будет обеспечено, если лежит на прямой, проходящей через центр масс (центр тяжести). В этом случае момент силы , или сумма моментов и _ТП равны нулю, поскольку равно нулю плечо силы , точно так же, как и силы m . При указанной ориентации вектора угол , как видно из рисунка 29, определяется соотношением

tg  = F_ТП / N . (16.11)

Cила трения покоя удовлетворяет условию (13.8). Учтем также соотношение (16.10)

F_ТП   N =  m g . (16.12)

Подставляя (16.9) в (16.12), получим:

m v² / r   m g  v  v_П = . (16.13)

Чтобы не поскользнуться на повороте, мотоциклист должен ехать со скоростью, не превышающей некоторого предельного значения v_П, которое тем меньше, чем меньше коэффициент трения  и чем круче поворот (меньше r).

Из (16.11), (16.9) и (16.10) найдем, на какой угол он должен наклониться:

tg  =   = arctg (v² / r g). (16.14)

С учетом неравенства (16.13) получим из (16.14):

tg    . (16.15)

Равенство (16.14) показывает, что с увеличением скорости v должен увеличиваться угол наклона , иначе можно «не вписаться в поворот» (увеличится r). Однако тангенс угла наклона должен оставаться меньше коэффициента трения  (см. (16.15)).

В



копилку опыта

• Применяя законы Ньютона к телу конечных размеров, можно найти, как движется центр масс этого тела.

• Моменты внешних сил относительно центра масс определяют, будет ли тело (абсолютно твердое) двигаться поступательно, или же эти силы вызовут его поворот относительно поступательно движущейся системы отсчета, связанной с центром масс (Ц-системы).

• При решении физических задач иногда приходится иметь дело не только с уравнениями, но и с неравенствами. Неравенства могут содержаться и в ответах.

З адача 16. 3*. При торможении всеми четырьмя колесами тормозной путь автомобиля равен S. Найти тормозной путь этого же автомобиля при торможении только передними колесами (S₁) и только задними – (S₂). Коэффициент трения скольжения колес равен 0,80. Центр тяжести автомобиля расположен на одинаковом расстоянии от передних и задних колес на высоте, составляющей 1 / 4 часть расстояния между осями автомобиля.

На рисунке 30 изображены: сила тяжести m автомобиля; силы нормальной реакции ₁ и ₂ со стороны дороги; силы трения скольжения ₁ и ₂, действующие при торможении на колеса; перемещение автомобиля ; скорость и ускорение при торможении; расстояние между осями l; высота h центра масс над полотном дороги.

К акие физические законы здесь следует применить? Встречалась ли вам задача чем-то похожая на данную? Как и в предыдущей задаче, здесь речь идет о движении тела конечных размеров, так что придется анализировать движение центра масс и возможные повороты автомобиля в Ц-системе, считая его абсолютно твердым телом. Из каких уравнений непосредственно определяются искомые величины S₁ и S₂? Они определяются из кинематических уравнений движения центра масс. Поскольку центр масс автомобиля движется при торможении с постоянным ускорением , можно применять кинематические уравнения (4.6) – (4.8).

Применяя кинематическое уравнение (4.8) для перемещения в проекции на ось x (рис. 30), получим

S = v² / (2 a). (16.16)

Для искомых величин S₁ и S₂ можно написать аналогичные соотношения:

S₁ = v² / (2 a₁) и S₂ = v² / (2 a₂) . (16.17)

Какие неизвестные помимо S₁ и S₂ входят в полученные уравнения, и из каких законов их можно найти? Неизвестные ускорения a, a₁ и a₂ можно найти из законов Ньютона в проекции на ось x (рис.30).

Для случая торможения всеми колесами получим

– m a = – F₁ – F₂ . (16.18)

Кроме того, на основании (13.7) имеем

F₁ =  N₁ и F₂ =  N₂,

а из второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось следует, что

N₁ + N₂ = m g.

Поэтому из (16.18) получается a =  m g, и после подстановки в (16.16) –

S = v² / (2  g). (16.19)

При торможении только передними колесами F₂ = 0, поэтому вместо соотношения (16.18) будем иметь

m a₁ = F₁ =  N₁. (16.20)

Для нахождения N₁ помимо соотношения N₁ + N₂ = m g следует учесть также равенство нулю суммы моментов относительно центра масс всех сил, приложенных к автомобилю:

l (N₁ – N₂) / 2 –  N₁ h = 0 . (16.21)

Выполнение этого условия обеспечивает поступательное движение автомобиля в инерциальной системе отсчета. Из последней пары уравнений получаем

N₁ = (16.22)

и после подстановки в (16.20) –

a₁ = . (16.23)

В случае торможения только задними колесами выполняются соотношения, аналогичные (16.20) и (16.21) :

m a₂ = F₂ =  N₂ ,

l (N₁ – N₂) / 2 –  N₂ h = 0 .

Эти соотношения дают вместо (16.23):

a₂ = . (16.24)

Подстановка (16.23) и (16.24), а также (16.19) в (16.17) приводит к таким ответам:

S₁ = 2 S (1 –  h / l) = 1,6 S ; S₂ = 2 S (1 +  h / l) = 2,4 S.

В обоих случаях тормозной путь больше, чем при торможении всеми колесами, но тормоза на передних колесах более эффективны, чем на задних.

В копилку опыта

• С

  

  илы трения, действующие на колеса автомобиля, создают вращающий момент относительно центра масс. Этот момент приводит к перераспределению сил реакции дороги и может привести к опрокидыванию автомобиля.

• При поступательном движении тела в инерциальной системе отсчета сумма моментов всех сил, приложенных к телу, равна нулю, если эти моменты вычисляются относительно цетра масс.