В  копилку опыта

• «Генерал-законы» (4.6) – (4.8) применяются и для криволинейного движения.

• Для записи одного уравнения можно использовать одну ось, а для записи другого – другую.

§ 7. Разделяй и властвуй

Задача 7. 1*. Ракета стартует с земли вертикально вверх с постоянным ускорением a и через время t падает на землю. Сколько времени работал двигатель?

Ракета a t t1 – ?	Размерами ракеты и сопротивлением воздуха пренебрегаем. Высоту полета ракеты будем считать много меньше радиуса земного шара, так что ускорение свободного падения в любой точке траектории одно и то же и равно . В результате сделанных приближений приходим к кинематике частицы.
		Можно ли все рассматриваемое движение описать законами (4.6) – (4.8)? Нет, так как ускорение ракеты не остается неизменным. Можно ли данную задачу разбить на более простые, для которых применимы эти уравнения? Когда работал двигатель, ракета двигалась вверх с ускорением . Потом она продолжала движение вверх с уменьшающейся по модулю скоростью. После достижения верхней точки траектории началось ее свободное падение вниз. Сколько же подзадач целесообразно выделить? Можно выделить три подзадачи. Чем отличаются два последних этапа движения и что у них общего?

Сначала ракета двигалась вверх, а затем – вниз, но ускорение в обоих случаях одно и то же – . Зачем же различать эти этапы движения? Ведь формулы (4.6) – (4.8) описывают все движение с постоянным ускорением, не зависимо от направления скорости. Поэтому эти формулы целесообразно применять отдельно для первого (активного), этапа, когда работал двигатель, и для всего второго (пассивного), включающего движение и вверх, и вниз.

Какие формулы следует использовать для первого этапа? Время входит и в (4.6), и в (4.8). В одной из них фигурирует неизвестное перемещение, а в другой – неизвестная скорость. Определить время из одного уравнения не удается. Приходится записывать оба уравнения.

Применяем формулу (4.6) к перемещению ₁ в проекции на ось x (рис. 6):

S₁ = a t₁² / 2. (7.1)

Здесь S_X = S; v_0X = 0; a_X = a.

Применяем формулу (4.7) для момента времени t. Используем ту же ось x (рис. 6):

v₁ = a t₁. (7.2)

Полученные два уравнения содержат три неизвестные величины: t, S и v₁. Необходимо еще одно уравнение, связывающее некоторые из них. Какую формулу следует для этого применить? Какие данные условия еще не использованы? Не использована заданная величина t, а также не отражено движение на втором этапе (пассивном). Как связать величины t₁ и t? Время движения на втором этапе равно t – t₁ . Какие характеристики движения на этом этапе могут быть связаны с неизвестными, входящими в уравнения (7.1) и (7.2)? Перемещение (рис. 6) равно – ₁, а начальная для этого этапа скорость равна ₁. Так какую же формулу следует применить? Нужно применить формулу (4.6) для перемещения . Можно использовать ту же ось x (рис. 6). Получим

– S₁ = v₁ (t – t₁) – g (t – t₁)² / 2. (7.3)

Решаем систему уравнений (7.1) – (7.4). Подставляем (7.1) и (7.2) в (7.3) и преобразуем:

(a + g) t₁² – 2 t (a + g) t₁ + g t² = 0. (7.4)

Квадратное уравнение (7.4) имеет два корня:

t₁ = t . (7.5)

Какой физический смысл имеют эти корни? Если в (7.5) взять знак «+», то получится t₁ > t, что не удовлетворяет условию задачи: время активного этапа меньше времени всего движения. Поэтому в ответе следует оставить только знак «–»:

t₁ = t . (7.6)