§ 24. Механические колебания

• Термин «колебания» относится не только к механике. Колебаниями называют такие процессы, при которых значения изменяющихся величин повторяются, хотя бы приблизительно, через некоторые промежутки времени. Происходят колебания температуры воздуха, атмосферного давления, электрического тока.

Если значения колеблющихся величин точно повторяются через равные промежутки времени, то колебания называют периодическими, а указанный промежуток времени – периодом. Не все колебания являются периодическими.

• Под механическими колебаниями понимают колебания величин, характеризующих механическое движение: координат точек, проекций скоростей и т. п. Иногда механическими колебаниями называют колебательные движения, то есть такие движения, при которых частицы последовательно проходят одни и те же положения, двигаясь то в одном, то в противоположном направлениях.

• Колебания величины x называют гармоническими, если она изменяется по закону

x = x₀ sin ( t + ₀) (24.1)

В формуле (24.1) x₀ – амплитуда колебания,  – циклическая частота, ₀ – начальная фаза колебания.

Период гармонического колебания T = 2  / . Величину  = 1 / T =,  / (2 ), называют частотой колебания.

Задача 24. 1. Частица равномерно движется по окружности радиуса R с угловой скоростью . Как изменяется с течением времени ее декартова координата x, отсчитываемая от центра окружности? Как изменяются проекции на эту ось скорости и ускорения?

Н а рисунке 55 изображена траектория движения частицы, а также показаны ее скорость и ускорение . Какие «генерал-законы» нужно здесь применить? Речь в задаче идет только о кинематических величинах. Поэтому естественно опираться на кинематические соотношения (3.9) – (3.11). Непосредственно из рисунка 55 следует, что

x = R sin  _. (24.2)

Угол  при равномерном движении частицы изменяется со временем по линейному закону:

 = ₀ +  t, (24.3)

что следует из (3.11). Величина ₀ – значение угла  при t = 0.

Из (24.3) и (24.2) получаем

x = R sin ( t + ₀) , (24.4)

то есть координата x совершает гармонические колебания.

Проецируя скорость на ось x (рис. 55) и учитывая (3.6), найдем

v_X = R  cos ( t + ₀) . (24.5)

Те, кто умеет дифференцировать, могут получить эту формулу, найдя производную функции (24.4).

Модуль ускорения (рис. 55), как центростремительного ускорения, определяется формулой (3.10). Поэтому проекция на ось x (рис. 55) оказывается равной

a_X = – R ² sin ( t + ₀) . (24.6)

Функция (24.6), естественно, представляет собой производную от (24.5).

Учитывая (24.4), соотношение (24.6) можно записать иначе:

a_X = – ² x . (24.7)

Величины v_X и a_X, подобно x, также совершают гармонические колебания.

Поскольку уравнения, определяющие ускорения, находят обычно в динамике, соотношение (24.7) называют динамическим уравнение гармонических колебаний, в отличие от (24.1), именуемого кинематическим уравнением гармонических колебаний.

В



копилку опыта

• Гармонические колебания произвольной величины x описываются кинематическим уравнением (24.1) и эквивалентным ему динамическим уравнением (24.7).

• Гармонические колебания произвольной величины x можно моделировать равномерным движением точки по окружности. Радиус окружности представляет амплитуду колебания, угловая скорость  движения точки – циклическую частоту, а угол поворота  отрезка прямой, соединяющего движущуюся точку с центром окружности – фазу колебания.

З адача 24. 2. К оси идеального блока жестко прикреплен груз массой m. Блок подвешен на нерастяжимой нити, один конец которой непосредственно соединен с потолком, а другой – через невесомую пружину жесткостью k. Груз совершает малые незатухающие колебания вдоль вертикали. Найти период этих колебаний.

Период колебания T связан с циклической частотой  соотношением T = 2  / , а циклическая частота фигурирует в динамическом уравнении гармонических колебаний (24.7). Так что нужно получить динамическое уравнение, для чего следует к грузу применить второй закон Ньютона в проекции на ось x (рис 56):

m a_X = m g – 2 F . (24.8)

Модуль силы натяжения нити F один и тот же в любых ее точках, так как нить невесома, а блок идеальный. В соответствии с третьим законом Ньютона, такова же по модулю и сила упругости пружины:

F = k l , (24.9)

где l – растяжение пружины, соответствующее опусканию груза на величину x относительно положения, при котором пружина не деформирована.

К ак связаны величины x и l ? С этой проблемой приходилось сталкиваться и в задаче 17.2. Чтобы опустить блок на величину x, конец нити нужно переместить на 2 x, то есть

l = 2 x . (24.10)

Подставляя (24.9) и (24.10) в (24.8), получим

a_X = – 4 (k / m) x + g . (24.11)

Нельзя ли привести (24.11) к виду (24.7)? Что, если изменить начало отсчета координаты x? Изменится ли при этом проекция ускорения a_X? Нет, она не зависит от начала отсчета координаты x. Поэтому преобразовывать следует лишь правую часть (24.11):

a_X = – 4 (k / m) (x – m g / (4 k)) 

a_X = – ² x , (24.12)

где ² = 4 k / m , (24.13)

и x = x – m g / (4 k) . (24.14)

Получилось динамическое уравнение гармонического колебания координаты x. Эта координата равна нулю при x = x₀ = m g / (4 k), то есть начало отсчета координаты x смещено по сравнению с началом отсчета координаты x вниз на величину x₀. При x = x₀ вместе с координатой x в нуль обращается и a_X. Следовательно, начало отсчета координаты x, совершающей гармонические колебания, совпадает с положением равновесия груза.

Искомый период колебаний находится из (24.13):

T = 2  /  =  .

Задача 24. 3. К потолку вагона, движущегося с ускорением ₀, на нити длиной l подвешен шарик. Каков период колебания шарика, и куда направлена нить при отсутствии колебаний?

Р ешим вначале задачу для простейшего случая ₀ = 0, то есть, предполагая, что поезд движется относительно Земли с постоянной скоростью.

Вагон в этом случае можно считать инерциальной системой отсчета и записать для него уравнение второго закона Ньютона:

m = m + . (24.15)

Здесь = _ШВ – ускорение шарика относительно вагона, а – сила натяжения нити (рис. 57).

В состоянии равновесия = 0, и из (24.15) видно, что силы и m должны лежать на одной прямой. Так что нить в отсутствии колебаний расположена вертикально, то есть параллельно вектору (пунктирная линия на рис. 57).

При колебаниях появляется ускорение  0. Уравнение (24.15) удобно проецировать на ось x, перпендикулярную нити, чтобы проекция неизвестной силы натяжения оказалась равной нулю. Получается

m a_X = – m g sin  .

Ограничиваясь малыми углами отклонения нити , можно приблизительно положить sin     x / l, где координата шарика мало отличается от длины дуги, соответствующей углу поворота  (рис. 57). Тогда динамическое уравнение шарика принимает вид

m a_X = – m g x / l ,

то есть совпадает с (24.7), если

² = g / l , или T = 2  . (24.16)

Таким образом, приходим к заключению, что шарик совершает гармонические (при небольших амплитудах) колебания. Период колебаний может быть вычислен по формуле (24.16). Равновесное положение нити – вертикальное.

Теперь посмотрим, что изменится, если вагон будет двигаться с ускорением ₀  0.

Уравнение второго закона Ньютона придется записывать не относительно вагона, а относительно инерциальной системы отсчета «Земля». Вместо (24.15) будем иметь

m _ШЗ = m + . (24.17)

Ускорение _ШЗ шарика относительно Земли можно связать с ускорением шарика относительно вагона _ШВ = , пользуясь законом сложения ускорений (3.5):

_ШЗ = _ШВ + _ВЗ = + ₀ . (24.18)

Из (24.17) и (24.18) получим

m = m ( – ₀) + . (24.19)

Сравнивая (24.19) с (24.15), видим, что все отличие сводится к замене величины на

 = – ₀ . (24.20)

Это означает, что движение вагона с ускорением ₀ сказывается на колебаниях маятника точно так же, как изменение ускорения свободного падения с величины на величину , определяемую формулой (24.20).

В положении равновесия нить будет располагаться параллельно вектору . Это положение, в соответствии с (24.20) зависит от модуля и направления ускорения вагона ₀.

Период колебания вычисляется по формуле (24.16) с заменой на :

T = 2  .

В



копилку опыта

• Нахождение периода гармонических колебаний сводится к составлению динамического уравнения и приведению его к виду (24.7).

• При решении некоторых задач полезно вначале упростить их, несколько видоизменив условие.

• Замена на  = – ₀ означает переход к другой задаче, которая эквивалентна данной, но решается проще – к задаче о колебаниях при ₀ = 0. Рассмотрение иной задачи, эквивалентной данной, в ряде случаев представляет собой эффективный способ решения.

З адача 24. 4. В системе, изображенной на рисунке 58, бруски массами m₁ и m₂ связаны нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок. Пружина жесткостью k в начальный момент не деформирована. Горизонтальная поверхность, по которой может скользить брусок, идеально гладкая. Определить период и амплитуду колебаний брусков, если их начальная скорость была равна нулю.

Для нахождения периода колебаний нужно получить динамическое уравнение и привести его к виду (24.7). С этой целью запишем второй закон Ньютона для бруска массой m₁ в проекциях на ось x и для бруска массой m₂ в проекциях на ось y (рис.58):

m₁ a₁ = F₁ – k x , (24.21)

m₂ a₂ = m₂ g – F₂ , (24.22)

где ₁ и ₂ – силы натяжения нити, приложенные к брускам, а x – удлинение пружины при движении брусков (рис. 58).

Нерастяжимость нити и идеальность блока позволяют принять

a ₁ = a₂ = a_X и F₁ = F₂ = F .

С этими условиями уравнения (24.21) и (24.22) дают

(m₁ + m₂) a_X = m₂ g – k x .

Отсюда a_X = – .

Последнее равенство совпадает с динамическим уравнением гармонических колебаний (24.7) при ² = k / (m₁ + m₂), что позволяет найти период колебаний:

T = = 2  .

Гармонические колебания совершает координата

x = x – x₀ , где x₀ = m₂ g / k . (24.23)

x₀ – деформация пружины в положении равновесия, когда a_X = 0.

Для определения амплитуды колебаний, то есть наибольшего отклонения от положения равновесия, применим закон изменения механической энергии (20.15) к системе «бруски, пружина, Земля».

Сопоставляем исходное состояние  и конечное , соответствующее наибольшему удлинению пружины x_К. Состояние  будем считать нулевым (E_П1 = 0). Кинетическая энергия в этом состоянии также равна нулю (E_К1 = 0).

Поэтому E₁ = E_К1 + E_П1 = 0.

В состоянии  кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная складываемся из работ сил упругости и тяжести при переходе в нулевое состояние :

E₂ = k x_К² / 2 – m₂ g x_К .

Правая часть уравнения (20.15) равна нулю: внутренних непотенциальных сил нет, а сила реакции горизонтальной поверхности перпендикулярна перемещению скользящего по ней бруска. Получаем E₂ – E₁ = 0,

или k x_К² / 2 – m₂ g x_К = 0 .

Следовательно, x_К = 2 m₂ g / k . (24.24)

Сравнивая (24.24) с (24.23), видим, что наибольшее удлинение пружины вдвое превышает удлинение ее в положении равновесия. Иными словами, бруски смещаются от положения равновесия на величину x₀ как в одну, так и в другую стороны. Это максимальное их смещение и есть амплитуда колебаний, то есть x_М = x₀ = m₂ g / k .

В



копилку опыта

• Динамическое уравнение гармонических колебаний определяет частоту (период) и переменную, которая изменяется по закону синуса (косинуса).

• При нахождении амплитуды колебаний часто приходится применять закон изменения механической энергии.