§ 21. Изменение и сохранение импульса

Задача 21. 1. Автомат выпускает 600 пуль в минуту. Масса каждой пули 4,0 г, ее начальная скорость 500 м/с. Найти среднюю силу отдачи при стрельбе.

Н ахождение сил относится к компетенции динамики. Можно было бы, применив законы Ньютона, найти силы, действующие на каждую пулю, а затем произвести необходимое усреднение. Целесообразнее применить закон изменения импульса (20.2), поскольку в него входит именно усредненная сила. Кроме того, в задаче заданы величины m и v, входящие в выражение для импульса.

Алгоритм применения закона изменения импульса непосредственно следует из его формулировки:

1. выбрать систему рассматриваемых тел;

2. фиксировать два состояния выбранной системы;

3. выразить для этих состояний импульсы ₁ и ₂ в инерциальной системе отсчета;

4. найти сумму внешних сил ;

5. подставить все величины в уравнение (20.2) и решить его.

Запоминать нужно не пункты алгоритма, а формулировку самого закона, из которого они непосредственно вытекают.

В рассматриваемую систему естественно включить автомат и пули. На рисунке 38 схематически показаны два состояния системы:  – до вылета n пуль и  – после вылета.

Что требуется найти? Найти нужно силу (рис. 38), действующую в среднем при переходе от состояния  к состоянию. Эта сила третьим законом Ньютона связана с силой – (рис. 38), приложенной к автомату.

К акие еще силы приложены к рассматриваемой системе? Есть еще силы тяжести и сила реакции опоры. Они направлены вертикально, и, если записать закон изменения импульса в проекциях на горизонтальное направление, то они не войдут в полученное уравнение. На рисунке 38 эти силы не показаны. Закон изменения импульса в проекциях на горизонтальную ось приводит к уравнению m v n – 0 = F t. Оно записано в инерциальной системе отсчета «Земля», относительно которой в задаче задана скорость пуль v. Из полученного уравнения сразу находим ответ:

F = n m v / t  20 Н.

Задача 21. 2. Тонкую нить, собранную в клубок, начинают вытягивать вверх за один конец с постоянной скоростью v. Масса единицы длины нити равна m₁. С какой силой F приходится тянуть за конец нити в тот момент, когда длина вытянутой части нити равна l. Клубок лежит на горизонтальной поверхности.

В Условии фигурируют величины m₁, v и F, что говорит о целесообразности применения ЗИИ (20.2).

К какой системе нужно применить указанный закон? Следуя примеру предыдущей задачи, применять его следовало бы ко всему тому, о чем речь идет в задаче, то есть к клубку нити. Но тогда пришлось бы иметь дело, по крайней мере, с силой тяжести клубка, которая не определена условием задачи. Разумнее выбрать расположенный вертикально участок нити (рис. 39).

О каких двух состояниях нужно вести речь? В условии данной задачи никакие состояния не фиксированы, но оказывается целесообразным рассмотреть два состояния, разделенные малым промежутком времени t. За это время длина вертикальной части нити увеличивается на l (рис. 39).

Выразим импульсы для состояний  и :

₁ = m , ₂ = (m + m) .

Здесь m – масса вертикального участка нити в первом состоянии, а m – ее увеличение во втором; – скорость в инерциальной системе отсчета, связанной с «Землей». В течение времени t на систему действовали: искомая сила и сила тяжести m (рис. 39). Небольшим изменением силы тяжести  mg можно пренебречь, поскольку выбран малый промежуток времени t.

Теперь можно записать закон изменения импульса (20.2) в проекциях на ось x (рис. 39):

m v = (F – m g) t . (21.1)

Какие дополнительные соотношения следует привлечь? Что еще не использовано из условия задачи? Массы m и m можно выразить через длины соответствующих участков нити: m = m₁ l, m = m₁ l. Кроме того, из определения скорости следует, что l = v t. Подставляя эти соотношения в (21.1), получим ответ

F = m₁ (v² + g l) .

Проверьте наименование, учтя, что [m₁] = кг/м. Проанализируйте предельный случай v  0.

В



копилку опыта

• Выбор системы рассматриваемых тел и двух анализируемых состояний произволен. Этим произволом нужно эффективно пользоваться.

• При нахождении внешних сил, приложенных к рассматриваемой системе, может помочь третий закон Ньютона.

• Закон изменения импульса целесообразно записывать в проекциях на определенным образом выбранную ось.

Задача 21. 3. Призма массой M c углом наклона  находится на гладком льду. На призме стоит собака массой m. С какой скоростью u будет двигаться призма, если собака побежит вверх по призме со скоростью v относительно нее?

И з Анализа содержания задачи сразу видно, что следует использовать закон изменения импульса. В условии говорится о двух состояниях: ( –собака стоит и  – собака бежит), заданы величины m и v. Очевиден и выбор рассматриваемой системы – «собака и призма».

Импульс системы в состоянии  равен нулю: ₁ = 0. Подразумевается система отсчета «Земля», которая является инерциальной. В состоянии  нужно сложить импульсы призмы и собаки, причем импульсы нужно брать относительно инерциальной системы отсчета «Земля»:

₂ = M + m _СЗ . (21.2)

Здесь _СЗ – скорость собаки относительно Земли. В условии же задана скорость собаки относительно призмы: = _СП. Поэтому нужно воспользоваться законом сложения скоростей (3.4):

_СЗ = _СП + _ПЗ = + . (21.3)

После подстановки (21.3) уравнение (21.2) приобретает вид

₂ = (M + m) + m . (21.4)

Из этого выражения и из рисунка 40 видно, что ₂  0, то есть импульс рассматриваемой системы в данном случае не остается постоянным. Какие силы вызывают его изменение? Эти силы показаны на рис. 40: m и M – силы тяжести собаки и призмы, – сила реакции льда. Все эти силы направлены по вертикали. Поэтому целесообразно записать закон изменения импульса в проекциях на горизонтальную ось x (рис. 40), так как проекции сил на нее равны нулю:

p_2X – p_1X = (M + m) u – m v cos  = 0 . (21.5)

В данном случае импульс изменяется, но его проекция на горизонтальное направление сохраняется.

Из (21.5) находим ответ

u = m v cos  / (M + m).

Куда же направлен и чему равен импульс ₂? Ответьте на этот вопрос самостоятельно.

В



копилку опыта

• Если сумма проекций внешних сил на некоторую ось равна нулю, то сохраняется проекция на эту ось импульса системы.

• При применении закона изменения импульса перейти в инерциальную систему отсчета помогает закон сложения скоростей.

Задача 21. 4*. По плоскости, наклоненной к горизонту под углом , равномерно скользит брусок массой M со скоростью v. В него попадает и застревает пуля массой m, летевшая горизонтально, после чего брусок останавливается. При какой скорости пули v_П это происходит? При каком значении скорости пули v_П1 брусок в результате удара отскакивает в противоположном направлении с прежней по модулю скоростью v?

Е стественно применить закон изменения импульса для системы «брусок – пуля». Сопоставляем два состояния: до столкновения и после него. Импульсы системы в этих состояниях равны

₁ = M + m _П и ₂ = 0 . (21.6)

К акие внешние силы были приложены к телам системы в процессе столкновения? Это силы тяжести бруска M и и пули m , а также сила со стороны наклонной плоскости, которую целесообразно представить в виде двух слагаемых:

= + _Т , (21.7)

где – сила нормальной реакции, а _Т – сила трения (рис. 41).

Куда направлена сила трения? При достаточно малой скорости пули v_П сила трения направлена навстречу скорости бруска , как и до попадания пули (рис. 41). Рассмотрим вначале именно этот случай.

До столкновения с пулей брусок двигался равномерно, так что приложенные к нему силы уравновешивались:

M + = 0 .

Следовательно, сила была направлена вертикально, и поэтому (рис. 41)

tg  = F_Т / N .

Так как

F_Т =  N, (21.8)

имеем

F_Т / N = tg  =  . (21.9)

В процессе столкновения сила , а вместе с нею и _Т, становятся по модулю большими, чем до столкновения. Пока продолжается скольжение, выполняется равенство (21.8), и поэтому отношение F_Т / N, то есть тангенс угла между векторами и , остается прежним – (21.9). Следовательно, сила , как и раньше, направлена вертикально. Поэтому уравнение закона изменения импульса целесообразно записывать в проекциях на горизонтальную ось x (рис. 41).

Используя (21.6) и рисунок 41, получим

0 – M v cos  + m v_П = 0 ,

или

v_П = M v cos  / m . (21.10)

Найдем теперь скорость пули v_П1, при которой брусок в результате удара отскочит в противоположном направлении с прежней по модулю скоростью v.

В этом случае сила трения вначале направлена вверх по наклонной плоскости, а затем в противоположном направлении. В грубом приближении можно считать в среднем силу трения равной нулю. Тогда имеет смысл записать закон изменения импульса в проекциях на ось x₁ (рис. 41):

(M + m) v – (m v_П1 cos  – M v) = – (M + m) g sin() t . (21.11)

Принимая во внимание, что величины m и t достаточно малы, получим из уравнения (21.11):

v_П1  (21.12)

Уточним полученный результат, обстоятельнее проанализировав действие силы трения.

Запишем в проекциях на ось x₁ закон изменения импульса отдельно для бруска:

(M +m) v – (– M v) = F₁ t + F_T t₁ + F_T t₂ . (21.13)

Здесь F₁ – проекция на ось x₁ силы, действующей на брусок со стороны пули, t₁ – время торможения бруска, t₂ – время его последующего разгона, t = t₁ + t₂ – время, в течение которого пуля застревает в бруске.

Применив закон изменения импульса отдельно к пуле, получим:

m v_П1 cos   F₁ t, (21.14)

m v_П1 sin   N t. (21.15)

В (21.14) учтено, что v_П1>>v, а в (21.15) – что N>> M g из-за большой величины скорости пули v_П1 и малой продолжительности столкновения t.

Пренебрегая в (21.13) массой пули m по сравнению с массой бруска M, найдем из (21.13) – (21.15) и (21.8):

2 M v  m v_П1 cos  +  m v_П1 sin  . (21.16)

Соотношение продолжительностей торможения и разгона получим, применив к бруску закон изменения импульса для промежутков времени t₁ и t₂:

M v = (F₁ + F_T) t₁, M v = (F₁ – F_T) t₂.

Отсюда следует, что

= . (21.17)

Равенства (21.8), (21.14) и (21.15) позволяют найти отношение

F_T / F₁ =  tg  = tg² . (21.18)

Преобразуем (21.17), подставив (21.18):

= = . (21.19)

Здесь, а также в (21.18) учтено соотношение(21.9).

Подставим (21.19) в (21.16) и найдем интересующую нас величину

v_П1 = .

При малых углах  этот результат мало отличается от (21.12). Однако если    / 4, то искомая скорость пули v_П1  ∞. Это означает, что отскок бруска возможен лишь при  <  / 4. При больших углах, как видно из (21.18), сила F₁, действующая на брусок вдоль наклонно плоскости, оказывается меньше предельной силы трения покоя F_T. По этой причине, сколь не велика была бы скорость пули, ее удар может лишь остановить брусок, но не заставить его двигаться в противоположном направлении.

В



копилку опыта

• Рациональным выбором оси проецирования можно избавиться от части неизвестных сил.

• В правой части закона изменения импульса входят средние для промежутка времени t значения внешних сил.

• При кратковременных столкновениях некоторые из внешних сил могут оказаться пренебрежимо малыми по сравнению с внутренними силами.

Задача 21. 5. Частица массой m₁, двигаясь со скоростью v, налетает на покоившуюся частицу массой m₂ и отскакивает от нее со скоростью u₁ под прямым углом к направлению первоначального движения. Какую скорость ₂ в результате этого приобретает вторая частица.

У точним Условие. Чтобы ответить на вопрос задачи, следует найти модуль скорости ₂ и ее направление, которое можно определить углом  (рис. 42). Анализ содержания приводит к заключению о необходимости применить закон изменения импульса.

Рассматриваемая система – «две частицы». Скорость подразумевается относительно инерциальной системы отсчета – «лаборатория». Сопоставлять нужно два состояния:  – до удара и  – после удара (рис. 42).

₁ = m₁ ; ₂ = m_{1 1} + m_{2 2} (21.14)

Внешние силы на данную систему не действуют. Поэтому из закона изменение импульса (20.2) точно так же, как из закона сохранения импульса, следует, что

₂ – ₁ = 0 , или m₁ = m_{1 1} + m_{2 2} . (21.15)

Э то равенство удобно анализировать, используя геометрический метод, то есть, представив векторные величины в виде направленных отрезков (рисунок 43). При построении рисунка 43 направленный отрезок m_{2 2} подобран так, чтобы сумма оказалась равной m₁ .

Из прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 43, сразу находим по теореме Пифагора

u₂ = .

Тангенс искомого угла  равен отношению катетов. Отсюда получаем

 = arctg (u₁ / v) .

В



копилку опыта

• Применяя закон изменения импульса, можно анализировать и такие ситуации, в которых импульс сохраняется, в том числе и те, для которых можно применять закон сохранения (замкнутая система).

• При применении закона изменения импульса может оказаться полезным геометрический метод.