В  копилку опыта

• В качестве дополнительных к законам Ньютона используются кинематические соотношения, а также формулы, определяющие силы.

• Может оказаться необходимым проецировать уравнения второго закона Ньютона на различные оси.

• В поисках недостающего уравнения иногда приходится уточнять условие задачи.

§ 15. От грузов до космических тел

Законы Ньютона позволяют единообразно описывать и движение грузов, брусков, шариков в пределах лабораторной установки, и движение различных транспортных средств, и движение спортсменов, и движение космических тел, как естественных, так и искусственных. Единообразие обусловлено тем, что все эти объекты моделируются частицами – материальными точками.

Задача 15. 1. На подставке лежит груз, к которому прикреплена пружина, подвешенная к потолку. В начальный момент пружина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с ускорением a. Через какое время груз оторвется от подставки? Жесткость пружины – k, масса тела – m.

Н а рисунке 24 слева показано положение груза в начальный момент времени, а справа – в момент времени t. – перемещение конца пружины за это время.

Какие законы следует применить для нахождения t? Груз можно считать частицей. Пока он не оторвется от подставки, его ускорение равно . Так что можно применить соотношения (3.6) – (3.8) кинематики частицы, движущейся с постоянным ускорением. Какие именно уравнения здесь целесообразно использовать? Применим уравнение (3.6) для перемещения в проекции на ось x (рис. 24):

S = a t² / 2 . (15.1)

Достаточно ли этого уравнения? Нет, не известно S. Какие еще законы следует привлеть? Величина S связана с силой упругости пружины, а сила упругости – с другими силами и ускорением, ими обусловленным. Так что нужно воспользоваться формулой (13.3) и законами Ньютона.

Запишем закон Гука (13.3) для силы упругости F (рис. 24) :

F = k S . (15.2)

Теперь «запрягаем тройку» законов Ньютона.

В качестве инерциальной можно взять систему отсчета «Потолок», или «Лабораторию». Ускорение предполагается заданным именно в этой системе отсчета. С таким ускорением движутся подставка и груз, пока он на нее опирается. Применим второй закон Ньютона для груза. Силы, приложенные к нему, указаны на рисунке 24: m – сила тяжести, – сила реакции подставки. В момент отрыва груза от опоры последняя сила становится равной нулю. В проекции на ось x (рис. 24) второй закон Ньютона дает для этого момента времени

m a = m g – F . (15.3)

Получено три уравнения, содержащие три неизвестные: t, S, F. Поскольку в задаче нужно найти t, исключаем вначале остальные неизвестные. Из (15.3) и (15.2) получаем

m a = m g – k S . (15.4)

Затем выражаем S из (15.4) и подставляем в (15.1):

m (g – a) / k = a t² / 2  t = .

И



з найденного ответа следует, что при a  g величина t  0, то есть при свободном падении подставки груз сразу отрывается от нее.

В копилку опыта

• Третий закон Ньютона в данном случае «остается в резерве», зато пришлось привлечь кинематику и закон Гука. Подобные ситуации встречаются и в других задачах.

Задача 15. 2. На полу кабины лифта, движущегося вверх с постоянным ускорением a, находится брусок массой m. К бруску под углом  к горизонту приложена сила. Определить эту силу, если брусок относительно лифта движется равномерно и прямолинейно. Коэффициент трения между бруском и полом лифта равен .

И з Анализа условия ясно, что придется «запрягать тройку» законов Ньютона, поскольку фигурируют динамические величины m и F. К какой частице их следует применить? Применить их нужно к бруску, который можно считать частицей, потому что он движется поступательно.

Применяя первый закон Ньютона, следует указать инерциальную систему отсчета. Только в ней можно записывать уравнения второго закона Ньютона. Наиболее просто выглядит движение бруска относительно кабины лифта: он движется равномерно, то есть с нулевым ускорением. Можно ли в системе «Лифт» записывать второй закон Ньютона? Нет. Так можно было бы поступать только в том случае, если бы лифт двигался равномерно относительно инерциальной системы отсчета «Земля». В данном случае это не так, поэтому следует записывать динамические уравнения непосредственно в системе отсчета «Земля». Каково же ускорение бруска в этой системе отсчета? Как его можно найти, используя данные условия? Следует применить закон сложения ускорений (3.5):

_БЗ = _БЛ + _ЛЗ = 0 + _ЛЗ = .

Здесь _БЗ – ускорение бруска относительно Земли, _БЛ = 0 – ускорение бруска относительно лифта, а _ЛЗ = – ускорение лифта относительно Земли.

Теперь нужно применить второй закон Ньютона. Для этого следует указать силы, приложенные к бруску (рис. 25): m – сила тяжести, – сила нормальной реакции, _ТР – сила трения скольжения, – заданная в условии задачи сила. Сила может быть направлена или так, как показано сплошной стрелкой на рисунке 25, или так, как показано пунктирной стрелкой.

Неужели придется по отдельности рассматривать каждый из этих случаев? Нельзя ли «одним ударом сразу убить двух зайцев»? В данном случае можно, если считать угол , под которым эта сила наклонена к горизонту, положительным в случае сплошной стрелки и отрицательным в случае пунктирной.

Записываем уравнение второго закона Ньютона для движения бруска относительно инерциальной системы отсчета «Земля» в проекции на ось y (рисуок 25):

m a = N – m g + F sin  . (15.5)

В случае сплошной стрелки последнее слагаемое положительно, в случае пунктирной – отрицательно. Так что уравнение (15.5) учитывает оба возможных направления силы .

Достаточно ли полученного уравнения для решения задачи? Нет, поскольку в уравнении две неизвестные величины: F и N. Какое еще уравнение, содержащее N, можно привлечь? Все ли данные задачи учтены? Не использована пока величина , поэтому следует записать еще уравнение (13.7):

F_ТР =  N. (15.6)

Но в этом уравнении содержится неизвестное – F_ТР. Приходится искать еще одно уравнение, в которое входит F_ТР. Какой закон для этого нужно использовать? Силы содержатся во втором законе Ньютона, который уже учтен в уравнении (15.5). Но учет этот проведен «однобоко»: векторное равенство записано в проекции лишь на ось y. Запишем тот же закон, но в проекции на ось x (рис. 25):

0 = F cos  – F_ТР . (15.7)

Получено три независимых уравнения, содержащие три неизвестных. Этого достаточно для нахождения решения. Исключая N и F_ТР из системы уравнений, получим ответ (проделайте преобразования самостоятельно):

F = . (15.8)

Анализ результата приводит к знакомым из жизненного опыта заключениям. Чем больше величины m и , тем большую силу нужно приложить для перетаскивания груза. При  > 0 (сплошная стрелка на рис. 25) сила F должна быть меньше, чем при  < 0 (пунктирная стрелка) – тянуть легче, чем толкать.