В копилку опыта

• А

  

  лгебраический метод решения в некоторых случаях может быть заменен геометрическим. Подобная замена часто оказывается весьма эффективной.

§ 10. Перейдем в другую систему отсчета

Почему при решении предыдущих задач ничего не говорилось о системе отсчета? Выходит, можно обойтись без этого понятия? Нет. Когда речь идет о перемещении, скорости, ускорении обязательно имеется в виду какая-то система отсчета. Правда, она часто не называется, если является привычной, для всех очевидной. Когда водителя автомобиля штрафуют за превышение скорости, всем ясно, что имеется в виду скорость относительно дороги, а не относительно встречной машины.

При решении некоторых физических задач необходимо явно указывать систему отсчета, а иногда и переходить от одной системы отсчета к другой.

Задача 10. 1*.Оцените, на сколько дальше спортсмен бросит гранату, если будет бросать ее с разбега.?

Что дано? Что нужно найти? Как кратко записать условие? Не простые вопросы в данном случае. Жизнь не добрая учительница, которая четко дает ясные задания. Часто приходится самостоятельно формулировать и уточнять саму задачу.

Еще раз прочитайте условие. Обратите внимание на слово «оцените». Это означает, что нужно решить задачу в грубом приближении, учтя лишь самое существенное, проводя вычисления с точностью до одной-двух значащих цифр. Представьте себе, что описываемая в задаче ситуация относится лично к вам. Какие характеризующие вас данные могут понадобиться при решении задачи?

Прежде всего, видимо, придется использовать некоторые ваши спортивные достижения.

Как далеко вы можете бросить гранату с места? Если очень постараться, то метров на 40 – 50. Примем, что дальность бросания без разбега S₀ = 50 м.

Ясно, что чем быстрее будет разбег, тем более дальним бросок. Как быстро вы бегаете на короткие дистанции? Видимо, стометровку сможете пробежать за 11 – 12 секунд. Поэтому примем скорость разбега равной u = 100 / 12  8 (м /с).

От чего еще может зависеть дальность броска? Наверно как-то влияет и рост спортсмена, и направление ветра. Однако при оценках можно пренебречь этими факторами и рассматривать движение частицы с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения , между точками, лежащими на горизонтальной поверхности земли. Частица брошена под некоторым углом  к горизонту так, что дальность полета S оказалась максимальной.

Как видим, этап Условие общего плана решения в некоторых случаях предполагает уточнение и дополнение самой задачи.

Теперь можно и кратко записать условие.

Н а рисунке 10 показаны: траектория полета, скорость разбега , начальная скорость гранаты и угол , определяющий ее направление, перемещение , модуль которого представляет собой дальность броска, ускорение свободного падения . Подразумевается, что все эти величины заданы в системе отсчета «Земля».

Анализ содержания задачи предполагает, в частности, выяснение качественно причины описываемого явления. Почему же разбег увеличивает дальность броска? Говорят, что за счет разбега увеличивается начальная скорость гранаты. Почему? Какой физический закон ответственен за это? Поскольку речь идет о добавке к скорости, вероятно, тут дело не обходится без закона сложения скоростей. Конечно. А еще какие законы придется применять? Так как речь идет о движении частицы с постоянным ускорением ( ), здесь применимы соотношения (4.6) – (4.8).

Как при помощи указанных законов получить необходимую систему Уравнений? Нельзя ли и здесь воспользоваться принципом «разделяй и властвуй»? Естественно. Ведь нужно сравнивать результаты двух подзадач: бросок с места и бросок с разбега. Во втором случае можно выделить еще одну подзадачу – о нахождении скорости движения гранаты относительно земли. = _ГЗ.

Будем реализовывать намеченный план получения необходимых уравнений.

Для первой подзадачи, применяя формулу (4.6), нетрудно получить (проделайте самостоятельно) соотношение, связывающее дальность полета S₀ с начальной скоростью v₀, направленной под углом  к горизонту:

S₀ = sin 2 . (10.1)

Максимальное S₀ при данном v₀ получается при ₀ = 45⁰. Оно равно

S₀ = v₀² / g . (10.2)

Переходим ко второй подзадаче. По аналогии с первой запишем кинематическое уравнение (4.6) для перемещения в проекции на оси x и y (рис. 10):

S = v_X t , (10.3)

0 = v_Y t – g t² / 2. (10.4)

Какой смысл имеют входящие в эти уравнения величины v_X и v_Y? Это проекции на оси x и y начальной скорости движения гранаты относительно земли. Нельзя ли v_X и v_Y связать с величиной v₀, фигурирующей в формулах (10.1) и (10.2)? Под v₀ можно понимать модуль скорости гранаты относительно спортсмена. (v_ГС = v₀). Только сила и сноровка спортсмена определяют эту величину. Так что она не меняется при переходе ко второй подзадаче. Как же, зная эту величину, найти v_X и v_Y? Для этого нужно применить закон сложения скоростей (3.4):

= _ГЗ = _ГС + _СЗ = _ГС + . (10.6)

Это равенство иллюстрируется векторным треугольником на рисунке 10.

Модуль вектора _ГС известен (v_ГС = v₀), а направление (угол ) – нет. Как выразить входящие в (10.3) и (10.4) проекции вектора ? Для это нужно спроецировать равенство (10.6) на оси x и y:

v_X = v₀ cos  + u , (10.7)

v_Y = v₀ sin  . (10.8)

Получилась система уравнений (10.3), (10.4), (10.7), (10.8), из которой нужно найти величину S. Решите эту систему самостоятельно. Получится

S = u sin  + sin (2), или, после подстановки (10.2), –

S = S₀ ( sin (2) + sin  ) . (10.9)

Для обеспечения максимальной величины S следовало бы еще определенным образом подобрать угол . Проще всего такой отбор провести с помощью ЭВМ. Однако для оценок можно считать, что спортсмен по привычке бросает гранату под одним и тем же углом, не зависимо от скорости разбега, то есть .    / 4. Тогда формула (10.9) упрощается:

S – S₀  sin (/4) = u . (10.10)

Проверьте наименование полученного ответа и подсчитайте численное значение. Должно получиться S – S₀  210¹ м, то есть разбег может увеличить результат приблизительно в 1,5 раза. В справедливости такого заключения вы можете убедиться на собственном спортивном опыте. Дерзайте!

Компьютерный анализ более точной формулы (10.9) показывает, что функция S() принимает максимальное значение, равное 69 м при  = 50⁰. Это существенно не отличается от найденного по упрощенной формуле (10.10) оценочного результата.