Пример выполнения лабораторной работы

1) Даны координаты вершин треугольника: , , .

a) Введём формулу для нахождения уравнения прямой по двум точкам, задав пользовательскую функцию up:

>up:=(x,x1,x2,y,y1,y2)->(x-x1)/(x2-x1)-(y-y1)/(y2-y1)=0;

Введём координаты вершин треугольника:

>xa:=1;ya:=2;xb:=3;yb:=5;xc:=5;yc:=3;

xa := 1

ya := 2

xb := 3

yb := 5

xc := 5

yc := 3

Находим уравнение прямой АВ, подставляя в функцию up координаты вершин и :

>AB:=up(x,xa,xb,y,ya,yb);

Аналогично находим уравнения прямых AC и ВС:

>AC:=up(x,xa,xc,y,ya,yc);

> BC:=up(x,xb,xc,y,yb,yc);

b) Введём формулу для нахождения канонического уравнения прямой, задав пользовательскую функцию upk:

>upk:=(x,x0,n1,y,y0,n2)->(x-x0)/n1-(y-y0)/n2=0;

Составим уравнение высоты CH, выбрав в качестве и координаты точки , а в качестве координат и направляющего вектора координаты вектора нормали к прямой АВ:

>n1:=1/2;n2:=-1/3;

>CH:=upk(x,xc,n1,y,yc,n2);

Найдем длину высоты СН, как расстояние от точки С до прямой АВ. Для этого подключим пакет linalg и зададим вектор нормали к прямой АВ:

> with(linalg):

> n:=vector([n1,n2]);

Преобразуем уравнение прямой АВ в пользовательскую функцию:

>uAB:=(x,y)->n1*x+n2*y+1/6;

Вычислим расстояние от точки С до прямой АВ по формуле:

>dCH:=abs(uAB(xc,yc))/norm(n,2);

c) Найдём координаты середины отрезка ВС:

>xm:=(xb+xc)/2;ym:=(yb+yc)/2;

xm := 4

ym := 4

Найдём уравнение медианы АМ, как уравнение прямой проходящей через две точки и :

>AM:=up(x,xa,xm,y,ya,ym);

d) Найдем точку пересечения высоты CH и медианы АМ, как решение системы уравнений прямых CH и АМ:

>solve({CH,AM},{x,y});

{x = 15/4, y = 23/6}

e) Для построения треугольника подключим пакет графических функций plots:

>with(plots):

Сформируем массивы данных для построения графиков прямых АВ, АС, ВС, используя оператор implicitplot(f(x,y), x=a..b,y=c..d). Здесь f(x,y)-уравнение прямой, а интервалы изменения x=a..b,y=c..d выбираются так, чтобы все точки , , отображались на общем графике. Очевидно, что для этого достаточно взять параметр a меньше, чем наименьшая из абсцисс , а параметр b больше, чем наибольшая из абсцисс , параметр с меньше, чем наименьшая из ординат , а параметр d больше, чем наибольшая из ординат .

>ab:=implicitplot(AB,x=0..6,y=0..6,color=green):

> ac:=implicitplot(AC,x=0..6,y=0..6,color=red):

> bc:=implicitplot(BC,x=0..6,y=0..6,color=black):

Выводим графики на экран:

>display([ab,ac,bc]);

2)Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через три точки : , , , .

Составим сначала пользовательскую функцию для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки:

> restart: with(linalg):

>pl:=matrix([[x-x1,y-y1,z-z1],[x2-x1,y2-y1,z2-z1],[x3-x1,y3-y1,z3-z1]]);

>upl:=(x,x1,x2,x3,y,y1,y2,y3)->det(pl)=0;

upl := (x, x1, x2, x3, y, y1, y2, y3) det(pl) = 0

Введём координаты точек :

> x1:=1;y1:=2;z1:=3;x2:=-3;y2:=0;z2:=6;x3:=4;y3:=0;z3:=2;

x1 := 1

y1 := 2

z1 := 3

x2 := -3

y2 := 0

z2 := 6

x3 := 4

y3 := 0

z3 := 2

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки :

> upl(x,x1,x2,x3,y,y1,y2,y3);

8 x + 5 y + 14 z- 60=0

Вычислим теперь расстояние от точки до плоскости . Для этого сначала зададим вектор нормали к плоскости :

> n:=vector([8,5,14]);

n := [8, 5, 14]

Преобразуем уравнение плоскости в пользовательскую функцию:

>uM1M2M3:=(x,y,z)->8*x+5*y+14*z-60;

uM1M2M3 := (x, y, z) 8*x+5*y+14*z-60

Теперь вводим координаты точки :

> x0:=8;y0:=-1;z0:=6;

x0 := 8

y0 := -1

z0 := 6

Вычисляем расстояние от точки до построенной плоскости по формуле:

>rho:=abs(uM1M2M3(x0,y0,z0))/norm(n,2);