5. З акон сохранения энергии для потока жидкости. Уравнение бернулли.

Пусть труба переменного сечения расположена наклонно к горизонту. Пусть по трубе протекает идеальная (несжимаемая, невязкая, без трения) жидкость. Тогда объём, проходящий по любому сечению трубы за единицу времени одинаков. Из этого следует или S₁υ₁=S₂υ₂, отсюда - т.е. чем уже труба, тем больше скорость. Работа сторонних сил по перемещению идеальной жидкости массой Δm будет равна изменению кинетической и потенциальной энергии.

А = ΔW_К +ΔW_П

Выразим силы через давление, а массу через плотность.

. Разделим обе части уравнения на V и перенесём все величины с одним индексом в одну сторону, а с другим в другую.

или , где

- плотность кинетической энергии или динамический (скоростной) напор (давление).

- плотность потенциальной энергии или гидростатическое давление.

- статическое давление.

- пьезометрическая высота.

- скоростная высота.

Эти уравнения называются уравнениями Бернулли.

Для жидкости, протекающей на одной высоте

.

Уравнение показывает, что при увеличении скорости течения жидкости давление падает.

Применение уравнения Бернулли

Ч тобы измерить давление в жидкости используют манометр. Манометр, подключённый перпендикулярно потоку показывает статическое давление. Манометр, подключённый параллельно потоку (трубка Пито) показывает полное давление.

Рисунок 3 Пульверизатор

П усть поток жидкости возникает, например, вследствие движения в воде подводной лодки. Приравняв υ₂ к нулю, найдём скорость лодки .

Зависимость давления жидкости и газе от их скорости лежит в основе принципа действия многих устройств и приборов. Например, пульверизатор, карбюратор, водоструйный насос и т.д.

Подъёмная сила крыла

К огда воздушный поток начинает обтекать крыло, то над верхней плоскостью скорость больше, чем под нижней плоскостью. Это означает, что давление на верхнюю плоскость меньше, чем на нижнюю, поэтому возникает подъёмная сила. Подъёмная сила возникает также из-за наклона крыла относительно потока – угол атаки. Правда при чрезмерном увеличении угла атаки увеличивается лобовое сопротивление.

Теория возникновения подъёмной силы крыла при обтекании его потоком газа была впервые разработана русским учёным Н.Е. Жуковским. При взлёте самолёта крыло располагается наклонно. За счёт этого возникает большая подъёмная сила. При этом возникает значительная сила сопротивления воздуха. Затем при движении на некоторой высоте подъёмная сила обеспечивается формой крыла, при этом сила сопротивления воздуха минимальна.

Вопросы:

1. Какова зависимость между скоростью течения жидкости и площадью поперечного сечения?

2. Запишите уравнение Бернулли.

3. Как зависит давление жидкости от скорости течения жидкости?

4. Почему возникает подъёмная сила?

5. Какая подъёмная сила используется при взлёте самолёта?

6. По трубопроводу диаметром 270×10 мм перекачивается вода с расходом 150 м³/час. Определить скорость воды в трубе и режим её движения.

Пример: Жидкость вытекает из открытого резервуара в атмосферу через трубу, имеющую плавное сужение до диаметра d₁ = 10 мм, а затем постепенное расширение до d₂. Течение происходит под напором Н = 3м. Пренебрегая потерями энергии и считая режим турбулентным, определить расход жидкости, а также абсолютное давление в узком сечении трубы. d₂/d₁ = .

Р ешение: Выбираем сечение 1-1 и 2-2. Скорость свободной поверхности примем равной нулю. Запишем уравнение Бернулли. или . Отсюда = 7,67 м/с.

Искомая величина расхода жидкости равна = = 1,2·10^-3 м³/с.

Д ля определения абсолютного (полного) давления в сечении 3-3 рассмотрим уравнение Бернулли для сечений 3-3 и 2-2. . Скорость υ₃ найдём из условия неразрывности струи. υ₃·S₃ = υ₂·S_2. Отсюда = 12,4·10³ Па

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 5

1. Жидкость вытекает из открытого резервуара в атмосферу через трубу, имеющую плавное сужение до диаметра d₁ = 15 мм, а затем постепенное расширение до d₂ = 20 мм. Течение происходит под напором Н = 5м. Пренебрегая потерями энергии и считая режим турбулентным, определить расход жидкости, а также абсолютное давление в узком сечении трубы.

2. На столе стоит сосуд с водой в боковой поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии h = 25 см от уровня воды. Считая высоту уровня воды постоянной Н =2м, определить на каком расстоянии от дна сосуда вода падает на стол.

3. В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0,5м имеется круглое отверстие диаметром d = 1см. Найти зависимость скорости понижения уровня водя от высоты h этого уровня. Найти значение этой скорости при h = 0,5м.

4. В сосуд льётся вода, причём за единицу времени наливается V₁ = 0,2 л/с. Каким должен быть диаметр d отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нём держалась на постоянном уровне h = 8,3см?