31. Электромагнитные колебания.

1. М ы уже встречались с вынужденными электрическими колебаниями. Переменный электрический ток, которым мы пользуемся каждый день, является вынужденными колебаниями. Рассмотрим колебательный контур - электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью С и электрической катушки индуктивностью L. Если конденсатор зарядить до напряжения U, то есть сообщить ему энергию Wэ= CU²/2=Q²/2C, конденсатор начнет разряжаться через катушку. Возникнет электрический ток через катушку, а значит ЭДС индукции- Е_инд, направленной против увеличивающегося тока. Когда заряд на конденсаторе станет равняться нулю, вся энергия конденсатора преобразуется в энергию магнитного поля катушки W_М = LI²/2, ток начнет уменьшаться, но ЭДС станет направленной вдоль тока и конденсатор перезарядится. Вся энергия магнитного поля катушки преобразуется в энергию электрического поля конденсатора Wэ=CU²/2. Затем процесс пойдет в обратном направлении, т.е. возникнут свободные колебания заряда конденсатора, силы тока в катушке, напряжения на конденсаторе.

Будут происходить колебания электрического и магнитного полей, т.е. электромагнитные колебания.

Чтобы избежать сложных выкладок высшей математики, просто посмотрим на формулы и сравним их.

х – координата Q – заряд конденсатора

υ=Δx/Δt – скорость I=ΔQ/Δt - сила тока

а= Δυ/Δt – ускорение а = ΔI/Δt – скорость изменения тока

F=ma – сила E_инд= -L( ΔI/Δt) – ЭДС самоиндукции

F=-kx – возвращающая сила U = – напряжение на конденсаторе

– закон сохранения – закон сохранения энергии для

энергии для пружинного маятника колебательного контура

Эти два процесса описываются совершенно одинаковыми математическими формулами. По аналогии допишем недостающие:

х=x_оcosωt Q=Q_оcosωt

υ=-ωx_оsinωt i=-Q_оωsinωt

а=-ω²x_оcosωt a=-ω²Q_оcosωt

Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре, не учитывая сопротивления, можно считать гармоническими. Однако сопротивление среды всегда есть, поэтому свободные колебания являются затухающими, т.е. быстро прекращаются.

Запишем уравнение мгновенных значений для напряжения на конденсаторе, для силы тока и напряжения на катушке индуктивности, учитывая, что Uс=Q/С – напряжение на конденсаторе, а напряжение на катушке индуктивности Uk= -E_инд

u_c=u_ocosωt u_c=u_ocosωt , где u_o=Q_o/C; i_o=Q_oω

i=-i_osinωt или i=i_ocos(ωt+90˚) e_o=-La_o=Lω²Q_o

u_k=-e_ocosωt u_k=u_ocos(ωt+180˚)

Взяв за отсчет- силу тока получим

u_c=u_ocos(ωt-90˚)

i=i_ocosωt

u_k=u_ocos(ωt+90˚)

Вывод: 1). Сила тока опережает напряжение на конденсаторе на 90˚ и отстает от напряжения на катушке на 90˚ .

2). U_o=Q_o/C , Uo=LQ_oω² , I_o=Q_oω, откуда умножив и разделив последнюю формулу на емкость получим i_o=Q_oωC/C → i_o=U_oωC , i_o=U_o/(1/ωC), i_o=U_o/Xc – закон Ома, Xc=1/ωC – емкостное сопротивление, измеряется в Омах.

Для напряжения имеем U_o=LQ_oω²=LωQ_oω=Lωi_o или U_o=XL i_o, i_o=U_o/ XL , XL= ωL - индуктивное сопротивление катушки (Ом).

Рассмотрим цепь, последовательно соединенных активного сопротивления R (проволока из металла с повышенным сопротивлением, на котором электрическая энергия превращается в тепловую), конденсатора и катушки индуктивности. Пропустим по ней переменный ток i=i_ocosωt . Общее напряжение равно сумме напряжений на участках, поэтому запишем:

U=UR +U_L+Uc

u =i_oRcosωt+i_oLωcos(ωt+90˚)+i_o(1/ωC)cos(ωt-90˚)

u=i_o(Rcosωt+(X L +Xc))cos(ωt+90)

Полное напряжение можно вычислить, перейдя от алгебраического задания функции к векторной диаграмме. Вспомним, что построение волновой диаграммы (графика) функции х = х_оcosφ сводится к вращению вектора х_о с угловой скоростью ω. Всю функцию можно представить вектором, а сумму функций заменить суммой векторов. Можно начертить диаграмму напряжений (треугольник напряжений). В масштабе начертить вектор напряжения на активном сопротивлении. Затем перпендикулярно вектор разности напряжений индуктивных и ёмкостных. А затем вектор полного напряжения соединяющий начало векторной диаграммы и конец реактивного сопротивления. Из рисунка видно, что треугольник прямоугольный. Значит полное напряжение находим по теореме Пифагора

U = .

Разделим обе части уравнения на силу тока.

Z= .

Получим треугольник сопротивлений. Умножим формулу для напряжений на силу тока.

UI = . Или

получим треугольник мощностей (векторную диаграмму). S – полная мощность. Измеряется в вольтамперах (В·А). Р – активная мощность. Измеряется в Ватах (Вт). Q – реактивная мощность. Измеряется в варах (вар – вольтампер реактивный). Как видно из векторной диаграммы. Р = Scosφ.

cosφ – называется коэффициентом мощности.

Сила тока и напряжение отличаются по фазе, а закон Ома для переменного тока можно записать

i_o=u_o/Z , или i_o= , или для действующих значений ,

Рисунок 15 а) Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и ёмкости.

b) Векторная диаграмма напряжений (индуктивный характер цепи).

с)Векторная диаграмма напряжений (нагрузка имеет ёмкостный характер).

d) Волновая диаграмма. Напряжение отстаёт по фазе от тока на угол φ.

Вопросы:

1. Что называется колебательным контуром?

2. Как называются колебания, возникающие в колебательном контуром?

3. Чему равна энергия катушки?

4. Чему равна энергия конденсатора?

5. Как определить период свободных колебаний?

Задачи :

1. Не разветвлённая электрическая цепь переменного тока содержит катушку с активным сопротивлением 3 Ом и индуктивным сопротивлением 12 Ом. Активное сопротивление 5 Ом и конденсатор с сопротивлением 6 Ом. К цепи приложено напряжение 100 В (действующее значение). Определить полное сопротивление цепи, ток, коэффициент мощности. Активную, реактивную и полную мощность, напряжение на каждом сопротивлении, начертить диаграмму.

Решение. а) Определяем полное сопротивление цепи:

Z = = = 10 Ом.

b) Определяем ток цепи:

I = U/Z = 100/10 = 10 А.

с) Находим коэффициент мощности. Во избежание потери знака угла (косинус функция чётная) определяем sinφ. = (X_L – X_C)/Z = (12-6)/10 = 0,6. φ = 36^о50'. Коэффициент мощности равен cosφ = 0,8.

d) Определяем активную, реактивную и полную мощности цепи:

Р = UIcosφ = 100·10·0,8 = 800 Вт

Q = UIsinφ = 100·10·0,6 = 600 вар

Р = UI = 100·10 = 600 В·А

е) Определяем падения напряжения на сопротивлениях цепи:

U_R = (3+5)·10 = 80 B. U_L = 12·10 = 120 B. U_C = 6·10 = 60 B.

Построение векторной диаграммы начинаем с выбора масштаба напряжения.

З адаёмся масштабом 1см = 10 В. Чертим ось тока. Вдоль оси тока откладываем напряжения на активных элементах цепи. U_R = 8 см. Перпендикулярно оси токов вверх откладываем U_L = 12 см. От конца вектора напряжения U_L откладываем вертикально вниз U_C. Соединяем начало диаграммы с концом вектора U_C. Получаем вектор полного напряжения U. Он должен иметь длину 10 см. Угол между вектором полного напряжения и током должен быть 36^о50'.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 22

1. Цепь не разветвлённая переменного тока состоит из активного сопротивления 30 Ом, ёмкостного сопротивления 100 Ом и индуктивного 60 Ом. Сила тока в цепи 2 А. Определить полное напряжение, полную и реактивную мощность. Определить коэффициент мощности. Построить диаграмму напряжений.

2. Неразветвлённая электрическая цепь переменного тока содержит катушку с активным сопротивлением 4 Ом и индуктивным сопротивлением 12 Ом. Конденсатор с сопротивлением 9 Ом. К цепи приложено напряжение 50 В (действующее значение). Определить полное сопротивление цепи, ток, коэффициент мощности. Активную, реактивную и полную мощность, напряжение на каждом сопротивлении, начертить диаграмму.

3. В трёхфазную сеть включили звездой несимметричную нагрузку. Линейное напряжение Uл = 380 В. Rc = 110 Ом, R_A = 30 Ом Х_А = 40, R_B = 73,3 Ом. Определить фазные токи. Построить векторную диаграмму. Нагрузка фазы А имеет индуктивный характер. Определить ток нулевого провода по диаграмме.

Контрольно-измерительные материалы