Решение слу методом Жордана-Гаусса

Пример 4. Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса

.

Решение: Решая этим методом необходимо преобразовать расширенную матрицу системы так, чтобы привести к диагональному виду матрицу системы.

~ ~ ~

~ ~ ~ .

Здесь вторая и третья матрицы получены, так же как и по методу Гаусса.

В четвертой матрице во втором столбце все элементы, кроме , должны равняться нулю. Поэтому четвертая матрица получена из третьей следующим образом: элементы второй строки умножаются на -3 и прибавляются к первой; элементы второй строки умножаются на 4 и прибавляются к третьей. Далее элементы третьей строки в четвертой матрице умножаются на , чтобы элемент стал равен 1. Так получили пятую матрицу. Теперь нужно добиться, чтобы элементы третьего столбца, все кроме стали равны 0. Следует заметить, что элемент уже равен 0, поэтому вторую строку не преобразовываем, а к первой прибавляем третью, умноженную на -1, тем самым получаем шестую матрицу, где на месте матрицы системы (три первых столбца) расположении диагональная, а именно – единичная матрица. Восстановив систему по последней матрице,

сразу получаем решение: .

Решения, полученные всеми методами совпадают. Ответ: .

Замечание. Решение можно было оформлять в виде таблицы (смотри далее пример 6).

Решение систем линейных уравнений с переменными

Для решения таких СЛУ предпочтительнее применять метод Жордана-Гаусса, т.к. в процессе решения исследуется система.

Пример 5. Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса

.

Решение: Запишем расширенную матрицу СЛУ и приведем ее к диагональному виду:

~ ~

~ ~ ~ .

Число оставшихся уравнений равно , а число переменных , следовательно, система неопределенна, т.е. имеет бесконечно много решений.

Запишем систему по виду последней матрицы:

Переменные, которые встречаются только в одном уравнении с коэффициентом равным единице, являются базисными. В данном примере и , оставшиеся – свободные, т.е. и . Выразим базисные переменные через свободные, получим общее решение СЛУ:

.

Придавая произвольные значения свободным переменным будем получать частные решения. Другими словами, если тогда - общее решение системы.

Найдем какое-нибудь частное решение системы. Пусть, например, , тогда – частное решение системы.

Частных решений можно выписать бесконечно много.

Пусть свободные переменные , тогда - базисное решение системы. Оно является допустимым и невырожденным.

Можно найти другие базисные решения, выбирая в качестве базисных, другие пары переменных. Число базисных решений конечно.

Пример 6. Решить систему уравнений с помощью таблиц Гаусса

.

Решение: Запишем данную систему в таблицу Гаусса (Т.1). Выберем в ней ведущий элемент (в таблице отмечен [ ]). На первом шаге им может быть любой ненулевой, например . Заполняем таблицу 2 (Т.2), применяя правило прямоугольника, а именно: заполнение начинаем с ведущей (в данном случае – второй) строки. В таблицу 2 выписываются элементы ведущей строки из предыдущей таблицы, деленные на ведущий элемент. Все элементы ведущего столбца (первого), кроме ведущего который стал равен единице, обнуляются. В столбец «б. п.» в ведущей строке (второй) записывается название ведущего столбца – . Остальные элементы пересчитываем по правилу прямоугольника. Например, чтобы вычислить значение элемента вернемся в предыдущую таблицу 1 и мысленно нарисуем прямоугольник так, чтобы пересчитываемый элемент и ведущий располагались на одной его диагонали, тогда на другой диагонали будут располагаться элементы и . Подставим в формулу (1.13): , который записываем в таблице 2 на пересечении первой строки и второго столбца. Другой пример: вычислим значение элемент в таблице 2. Для этого вернемся в таблицу 1 и мысленно нарисуем прямоугольник так, чтобы пересчитываемый элемент и ведущий располагались на одной его диагонали, тогда на другой диагонали располагаются элементы и . Подставим в формулу и найдем: , который записан в таблице 2 на пересечении четвертой строки и третьего столбца. Подобным образом пересчитываются все элементы, кроме тех, что расположены в ведущей строке и столбце.

б.п.
	2 [1] 1 3	5 3 2 8	8 5 3 13	9 5 4 14	9 5 4 14	Т.1
	0 1 0 0	[-1] 3 -1 -1	-2 5 -2 -2	-1 5 -1 -1	-1 5 -1 -1	Т.2
	0 1 0 0	1 0 0 0	2 -1 0 0	[1] 2 0 0	1 2 0 0	Т.3
	0 1	1 -2	2 -5	1 0	1 0	Т.4

В таблице 2 выбираем ведущий элемент – любой ненулевой, только не во второй строке (она была ведущей), например . Заполняем таблицу 3 (Т.3), начиная с ведущей строки, записывая элементы первой (ведущей) строки из предыдущей таблицы, деленные на ведущий элемент равный -1. Все элементы ведущего столбца (второго), кроме ведущего который стал равен единице, обнуляются. В столбец «б. п.» в ведущей строке (первой) записывается название ведущего столбца – . Аналогично по правилу прямоугольника пересчитываем остальные элементы. Итак, после пересчета осталось две строки (две последние, нулевые удаляем). Базисных переменных тоже две и , т.е. столбец «б.п» заполнен. Теперь можно выписать базисное решение, соответствующее третьей таблице (Т.3), причем значения «б.п.» определяются из столбца свободных членов : (2,1,0,0), которое является невырожденным и допустимым.Чтобы найти другое базисное решение, нужно в Т. 3 выбрать ведущий элемент, например и пересчитать следующую таблицу, в нашем примере четвертая (Т.4). Базисное решение, выписанное по таблице 4: (0,0,0,1) – допустимое и вырожденное.

Количество базисных решений конечно, поэтому можно найти все базисные решения.

Ясно, что каждой таблице соответствует, эквивалентная исходной, система. Можно восстановить по таблице 3 или 4 систему и записать общие решения, но их вид будет разным.