Тема 2. Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц

Пример 10. Для матрицы найти обратную матрицу . Сделать проверку.

Решение: применим описанный выше алгоритм нахождения .

1. Вычисляем определитель: следовательно, матрица неособенная или невырожденная.

2. Запишем транспонированную матрицу для матрицы :

2. Вычислим присоединенную матрицу . Для этого найдем алгебраические дополнения для всех элементов транспонированной матрицы:

.

Запишем присоединенную матрицу .

4. Вычислим обратную матрицу по формуле (1.5): .

.

Проверка. Воспользуемся определением (1.4) обратной матрицы:

. Найдем произведение

= =

₌ .

Пример 11. Для матрицы найти обратную матрицу . Сделать проверку.

Решение:

1. Вычисляем определитель следовательно, матрица неособенная или невырожденная.

2. Запишем транспонированную матрицу для матрицы : .

3. Вычислим присоединенную матрицу ; для этого найдем алгебраические дополнения для всех элементов транспонированной матрицы.

.

Итак, присоединенная матрица имеет вид: .

4. Запишем обратную матрицу, используя формулу (1.5): .

.

Проверка. Воспользуемся определением (1.4) обратной матрицы:

. Найдем произведение

.

Для нахождения ранга следует с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду. Преобразованная матрица будет эквивалентна исходной, т.е. иметь тот же ранг, но, учитывая свойство определителей 8⁰, в матрице треугольного вида легко определяется наивысший порядок минора не равного нулю.

К элементарным преобразованиям относятся:

1. перемена местами строк;

2. умножение строки на произвольное, отличное от нуля число;

3. прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число.

Пример 12. Найти ранг матрицы: .

Решение: Преобразуем матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

~ ~ ~ ~ .

_{Вторая эквивалентная матрица получается, если первую строку умножить на} (–1) и поменять местами со второй строкой (элементарные преобразования 1, 2). Итак, на месте элемента получили единицу. Теперь все элементы первого столбца должны быть равными нулю. Следовательно, на месте элемента должен быть ноль. Умножим элементы первой строки на (–3) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки (элементарное преобразование 3). Получили третью матрицу, в которой вторую строку разделим на 2, третью на 11, четвертую на 5. Так получена четвертая матрица, в которой на месте элемента стоит единица. Теперь необходимо во втором столбце под элементом _{получить нулевые элементы. Если к элементам третьей строки прибавить соответствующие элементы второй и к элементам четвертой строки прибавить элементы второй, умноженные на (–1), то получим пятую матрицу диагонального вида, причем на главной диагонали количество ненулевых элементов равно двум. Определитель второго порядка, расположенный в левом верхнем углу отличен от нуля (он равен 1), следовательно, ранг R=2.}