Модель (м/м/1):(gd/)

В данной системе мы имеем 1 узел обслуживания; входной и выходной потоки являются пуассоновскими с параметрами  и  соответственно; дисциплина очереди не определена; число сообщений, которые могут находиться в системе, не ограничено; источник требований не ограничен.

Найти p_n(t) - вероятность того, что в любой момент времени t в системе находится n требований. Для этого воспользуемся следующими свойствами пуассоновского потока:

1. Вероятность наступления события (поступление или убытие требований из системы на интервале времени [t,t+h]) зависит только от величины h и не зависит от t (условие стационарности потока).

2. Вероятность реализации события на бесконечно малом временном интервале >0, но <1.

3. На бесконечно малом временном интервале реализуется не более одного события (условие ординарности потока).

р(Х)– вероятность того, что в момент t+h в системе окажется n требований, где h - бесконечно малый интервал времени.

Событие X можно представить в виде суммы трех несовместных событий:

.

A– заключается в том, что в момент времени t в системе находилось n требований, и за интервал h ни одного события не произошло;

В– в момент t находится (n-1) требование, за h– прибавилось одно требование;

С– в момент t находится (n+1) требование, за h – одно требование убыло.

Каждое из этих событий мы можем представить в виде произведения трех других событий:

События с индексом 1 связаны с состоянием системы в момент времени t:

События с индексом 2 связаны с прибытием требований в систему за интервал времени h:

События с индексом 3 связаны с убытием требований за время h:

Таким образом,

Если n=0, то

Вычтем из обеих частей p_n(t), разделим на h и устремим h к 0. Получим систему дифференциальных уравнений:

Если решить данную систему в зависимости от t, то полученные решения p_n(t) будут описывать СМО в переходном режиме.

Поскольку нас интересует стационарный режим, в котором вероятности не зависят от времени, то мы имеем соотношение:

Т.о., для стационарного режима мы имеем:

,

или

Разделим обе части на и введем коэффициент :

.

Здесь мы имеем соотношения, связывающие элементы последовательности p_о,p₁,p₂,....

Лекция 6

Вычислим производящую функцию для последовательности. Производящая функция p(Z) для последовательности чисел p₀, p₁, p₂,… задаётся следующим образом:

p(Z)=

где Z– некоторый параметр и |Z|<1. Тогда

Данная производящая функция соответствует последовательности:

,

Значение p_о найдем из условия нормировки:

.

Имеем:

Все данные соотношения справедливы, если Это условие называется условием стационарности процесса.

Найдем оперативные характеристики системы.

Как видно из всех этих соотношений, с ростом коэффициента все оперативные характеристики системы ухудшаются.

Коэффициент  называется пропускной способностью системы или коэффициентом использования системы.

В рассматриваемой модели не учитывалась дисциплина очереди, т.е. среднее время пребывания в очереди получилось независимым от ее дисциплины. В случае, когда требуется вычислить статистические характеристики системы, касающиеся времени пребывания в системе, необходимо знать распределения вероятностей времени пребываний требований в системе. Здесь уже важна дисциплина очереди.