Лекция 3

После того как параметры, характеризующие атакующую и оборонительную стороны, заданы:

1. Вычисляют количество ракет, выпущенных наземной ракетной батареей ПВО;

2. Определяют моменты времени, когда происходят пуски ракет с самолета и с батареи ПВО;

3. Вычисляют соответствующее расстояние полета ракеты при каждом пуске;

4. Вычисляют моменты времени, когда каждая из выпущенных ракет батареи ПВО и самолетом достигнет соответствующей цели;

5. Дают временную последовательность критических событий боя;

6. Делают вероятностную выборку на основе этой последовательности;

7. Вычисляют вероятности исходов и других выходных величин модели.

Данная модель является моделью последовательности критических событий, т.е. уравнения в ней даны в относительном времени. Если за начало боя, т.е. момент пуска первой ракеты любой из сторон, принять t=0,то все остальные события данного боя нужно отсчитывать от этого момента.

Одним из допущений, используемых при построении этой модели, является допущение, что самолет и батарея ПВО открывают ракетный огонь тогда, когда противник оказывается у порога дальности действия ракеты.

Т.о., все уравнения зависят от того, чья дальность больше: у зенитных или бортовых самолетных ракет.

Если считать, что t_c есть момент относительного времени, когда самолет выпускает свою последнюю ракету, то:

Как только самолет выпустит свою последнюю ракету, в соответствии с правилами игры, он тут же разворачивается и удаляется с той же скоростью. Следовательно, можно подсчитать расстояние R(t) между самолетом и батареей ПВО в любой момент времени t:

Максимальное число ракет, которое может использовать в бою самолет, равно М. Максимальное число ракет, которое может выпустить батарея ПВО, зависит от времени нахождения самолета в пределах зоны ракетного огня батареи и не может превысить N.

Время нахождения самолета в зоне ракетного огня батареи:

Тогда максимальное количество ракет, выпускаемых батареей:

Теперь можно определить моменты времени критических событий времени:

• E_i– момент пуска самолетом i– ой ракеты;

• F_i– момент достижения цели i–ой ракетой класса «воздух– земля»;

• G_j– момент пуска батареей ПВО j-ой ракеты;

• H_j– момент достижения цели j-ой ракетой класса "земля-воздух";

где i = 1,...,M, j = 1,...,L.

Если R₁R₂,то

Если R₁<R₂,то

Для определения величины H_j необходимо рассмотреть три случая:

1. В момент достижения ракетой цели самолет движется в направлении батареи ПВО:

G_j<t_c , H_j<t_c.

2. В момент пуска j-ой ракеты "земля-воздух" самолет уходит от батареи ПВО:

G_j>t_c , H_j>t_c.

3. В момент пуска j-ой ракеты "земля-воздух" самолет приближается к цели, но успевает развернуться и уходит от цели, когда ракета настигает его:

G_j<t_c , H_j>t_c.

Величина H_j с учетом ограничения H_j>G_j находится с помощью уравнений:

1.

2.

3.

Выделить случай 2 в этой задаче легко, проверив условие G_j>t_c.

Если G_j<t_c, то правильным решением будет минимальное значение H_j, найденное согласно случаям 1 и 3.

При проведении имитационного опыта мы должны для моментов F_i и H_j разыгрывать бернулевскую случайную величину с вероятностью успеха соответственно P₁(R(E_i)) и P₂(R(G_j)), определяющую уничтожена ли цель. В зависимости от результата определяется дальнейшее проведение эксперимента.

Примером может служить следующий набор входных данных:

V = 200 м/с

D₁ = 3 с

M = 10 шт

R₁ = 6000 м

U₁(R) = 600 + 0.2*R - 8.33*10^-6 * R²

P₁(R) =

D₂ = 10 c

N = 6 шт

R₂ = 6000 м

U₂(R) = 750 + 0.2*R - 8.33*10^-6 * R²

P₂(R) =

Кроме того, были рассмотрены четыре случая:

1. D₂ = 12 c

2. D₂ = 8 c

3. R₂ = 4500 м

4. R₂ = 6500 м

Эксперименты дали следующие результаты:

Исход		Исходный случай	I	II	III	IV
батарея	Самолет
погибла	жив	51.5%	49.5%	42.3%	62.8%	46.2%
жива	погиб	26.5%	27.1%	29.0%	20.8%	35.2%
погибла	погиб	22.0%	23.4%	28.7%	16.4%	18.5%
жива	жив	0%	0%	0%	0%	0.1%
Среднее количество ракет "воздух-земля"		3.47	3.50	3.45	3.50	3.39
Среднее количество ракет "земля-воздух"		1.37	1.38	1.51	1.17	1.73

Неожиданный результат получен для случая 1, когда увеличение интервала между пусками ракет оказалось выгодным для батареи ПВО. Однако статистическая проверка значимости показывает, что указанная разница не выходит за рамки статистического разброса.

При анализе результатов имитационных экспериментов нельзя полагаться на точечные оценки. Необходимо строить доверительные интервалы и проверять статистические гипотезы о равенстве параметров распределений в случае сравнения альтернатив. Для этого нам нужно знать дисперсию отклика модели. Наши оценки будут тем лучше, чем меньше будет дисперсия отклика модели. В имитационном моделировании разработаны специальные методы понижения дисперсии отклика.

Лекция 4

Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания (ТМО) предназначена для анализа поведения систем массового обслуживания (СМО). Строимые здесь модели СМО опираются на теорию вероятностей, т.е. представляют собой математические вероятностные модели.

Рассмотрим основные понятия ТМО.

СМО представляет собой обслуживающий прибор или набор обслуживающих приборов (иногда используется термин канал или каналы обслуживания).

К обслуживающему прибору на его вход поступают требования. Эти требования обслуживаются прибором в каком-либо порядке, называемом дисциплиной очереди. Каждое требование, приходящее на обслуживание, в случае, если прибор свободен, занимает его, начиная обслуживаться. Если же прибор занят, то становится в очередь на обслуживание. Обычно предполагается, что поток поступления требований случаен, и время обслуживания каждого требования случайно. Помимо этого, требования могут группироваться по критерию приоритетности.

Важной характеристикой СМО является дисциплина очереди. Наиболее распространенные дисциплины: FIFO (первое поступившее требование обслуживается первым), LIFO (последнее поступившее требование обслуживается первым), GD - случайное обслуживание требований. Помимо этого необходимо иметь в виду такую характеристику обслуживающей системы, как допустимую вместимость буфера ожидания (допустимая max длина очереди).

Кроме того, учитываются факторы, порождаемые природой источника требования. Этот источник может порождать либо конечное, либо бесконечное число требований.

Любую систему СМО будем характеризовать следующей записью:

( a / b / c) : ( d / e / f )

здесь параметр а определяет закон распределения моментов появления требований;

b - закон распределения времени обслуживания требований;

c - количество параллельных функционирующих приборов обслуживания;

d - дисциплину очереди;

e - максимальное число допускаемых в систему требований;

f - емкость источников, генерирующих требования.

Особую роль в теории массового обслуживания играют пуассоновское и экспоненциальное распределения.

Пуассоновское распределение характеризует дискретную случайную величину с возможными значениями k = 0,1,2,3,... с вероятностями

,

Для этой случайной величины математическое ожидание совпадает с дисперсией E(X) = var(X) = ,  - интенсивность потока.

Экспоненциальное распределение характеризует случайную непрерывную величину и имеет плотность распределения:

Математическое ожидание: E(X) = 1/.

Между этими двумя распределениями существует тесная связь. Когда временные интервалы между моментами последовательных поступлений требований распределены экспоненциально со средним значением 1/, тогда число прибытий требований в интервале времени длины t характеризуется пуассоновским законом распределения со средним значением, равным *t.

Пример:

Пусть в систему поступают сообщения, и интервалы времени между поступлением сообщений распределены по экспоненциальному закону. Среднее время между моментами поступления сообщений равно 5 сек., т.е. интенсивность =60:5=12 сообщений в минуту. Все сообщения в системе регистрируются на магнитном носителе. Требуется оценить объем внешней памяти, необходимый для регистрации всех сообщений, поступивших в течение часа. Эту оценку можно сделать, вычислив среднее количество поступивших в течение часа сообщений:

*t = 12*60 =720 сообщений.

Можно вычислить вероятность того, что число поступивших сообщений за час не будет превышать величины к, т.е. P (x ).

Вычислить это значение к для требуемой вероятности.

, т.e.

.

– первое число, при котором указанная сумма будет превышать вероятность .

Для этой системы можно оценить вероятность того, что запоминающее устройство будет простаивать в течение минуты.

.

В описанном примере был рассмотрен процесс чистого рождения, когда рассматривается только вход системы массового обслуживания, куда поступает сообщение. Если рассмотреть процесс на выходе СМО, в предположении, что она начинает функционировать, имея N требований, готовых для обработки, и не принимая больше требований на вход, то мы будем иметь процесс чистой гибели.

Предположим, что первоначально в системе находится N требований, и они выбывают из системы согласно пуассоновскому закону распределения с интенсивностью . Тогда вероятность того, что за время t будет обслужено n сообщений, есть:

Если же нас интересует вероятность того, что через время t в системе останется n требований, то:

Пример:имеется технологический объект, который контролируется 15-ю датчиками, и система управления построена таким образом, что сведения от всех датчиков приходят одновременно. Результаты обработки сведений от датчиков должны быть выданы не позднее, чем через 6 секунд после их получения. Те сообщения, которые не будут за это время обработаны, в дальнейшем не используются. Обработка сообщений осуществляется в соответствии с пуассоновским законом распределения с интенсивностью =3 сообщения/сек. Как только число необработанных сообщений снижается до 5, делается запрос на новое сканирование датчиков.

Проанализируем эту систему. Вычислим вероятность того, что в t-тую секунду потребуется формировать запрос на получение информации.

.

t	1	2	3	4	5	6
p5(t)	0.0008	0.0413	0.1186	0.1098	0.0486	0.0150

Наиболее вероятный момент, когда в системе окажется 5 необработанных сообщений, – это 3-я секунда.

Если требуется узнать вероятность, с которой новый запрос потребуется давать не позднее, чем в t-тую секунду, то необходимо вычислить вероятность того, что в t-тую секунду в системе окажется не более, чем 5 требований

.

t	1	2	3	4	5	6
P (t)	0.002	0.0839	0.4126	0.7576	0.9303	0.9847

Исходя из этой таблицы, можно оценить, когда с заданной вероятностью возникает необходимость делать запрос на новое обращение к датчикам, то есть определить режим их работы.

Для анализа ситуации можно рассмотреть среднее число сообщений, которые не будут обработаны системой.

Например, для 6-ой секунды мы имеем:

.

Таким образом, сообщение меньше, чем от одного датчика, окажется лишним. Конкретизируем обозначения параметров модели. Будем обозначать:

М– пуассоновский поток требований или экспоненциальное время обслуживания;

D– фиксированный (детерминированный) интервал времени между последовательными моментами поступления требований или постоянное время обработки;

GI– распределение произвольного вида для моментов поступления требований;

G– распределение произвольного вида для времени обслуживания требований;

FIFO, LIFO, GD - дисциплины очереди.

При анализе СМО следует заранее оговориться, какой режим функционирования системы нас интересует. Обычно выделяют 2 режима:

1. Неустановившийся (переходный);

2. Стационарный.

Первый режим наблюдается, когда поведение системы зависит от времени. В СМО, которая начинает функционировать, обычно происходит наращивание числа требований, находящихся в системе в начальный период времени. В период завершения функционирования происходит убывание числа требований в системе. В эти периоды наблюдается переходный режим функционирования.

Через некоторое время после начала функционирования в системе устанавливается стационарный режим. Однако, если интенсивность поступления требований  больше интенсивности обслуживания требований , то стационарный режим функционирования для системы оказывается недостижимым. Очередь будет бесконечно возрастать.

Мы будем рассматривать только стационарные процессы. При этом нас будут интересовать следующие характеристики системы массового обслуживания:

p_n (n=0,1,2,...)– вероятность того, что в системе находится n требований;

L_s– среднее число находящихся в системе требований;

L_q– среднее число требований, находящихся в очереди на обработку;

W_s– среднее время пребывания требований в системе;

W_q– среднее время пребывания требований в очереди.

По определению:

с– количество обслуживающих приборов.

Кроме того, существует связь между количеством требований и временем пребывания в системе и в очереди, которая определяется интенсивностью прибытия требований .

В случае, когда частота поступления требований равна , но не все они могут попасть в систему (из-за ограниченности буфера очереди), в данное соотношение необходимо ввести изменение. Для этого введем в рассмотрение коэффициент _эфф.– эффективная частота поступления заявок, то есть количество требований, действительно допущенных в блок ожидания СМО в единицу времени:

В общем случае описанной ситуации 0< _эфф. < . Значение этого коэффициента можно вычислить в зависимости от L_s и L_q. По определению средняя продолжительность нахождения требования в системе равна среднему времени нахождения в очереди плюс среднее время обслуживания.

Если интенсивность обслуживания требований равна , то среднее время обслуживания есть 1/, то есть:

.

Умножим данное выражение на и получим:

.

Данное соотношение справедливо и в случае замены  на _эфф., то есть

.

При анализе СМО основное внимание будет уделяться получению формул для p_n. Из этих чисел можно получить все остальные характеристики

.

Пример: рассмотрим систему реального времени, реализованную на однопроцессорном вычислительном комплексе. Пусть среднее число требований, поступающих в систему за минуту, =3, а средняя скорость их обработки =8. Пусть известно p_n

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
рn	00.625	0.234	0.088	0.033	0.012	0.005	0.002	0.001	0

Тогда характеристики системы будут:

Перейдем к рассмотрению некоторых моделей СМО.

Модели будут различаться свойствами входного и выходного потоков, числом обслуживающих приборов, максимальной длиной очереди и т. д. Мы будем рассматривать СМО, находящуюся в стационарном режиме. Это означает, что вероятность p_n не зависит от времени. Вывод формулы для вероятности p_n не зависит от дисциплины очереди. Поэтому будем считать, что имеется произвольная дисциплина очереди GD.