2-й семестр / Лекция 11
.pdf3. Замена переменных в тройном интеграле
Пусть в пространстве Oxyz задана произвольная ограниченная замкнутая область V. Предположим, что в области V введены, наряду с декартовыми координатами, так называемые криволинейные коорди-
|
|
|
= ( , , ) |
|
наты, которые |
обозначим буквами |
u,v, w |
: { = ( , , ). Иными словами, |
|
|
||||
|
|
|
= ( , , ) |
|
M M(x, y, z) V |
приписывается по некоторому закону конкретная тройка чисел |
(u,v, |
||
|
|
|||
точку M записывать также в виде M (u,v,w) .
каждой точке
w) . Будем тогда
При изменении координат
(x,
y, z)
в области V тройки координат (u,v,w) заполнят некоторую за-
мкнутую область G в пространстве
Ouvw
.
При этом каждой тройке координат |
(u,v,w) |
||
|
|||
вых координат |
(x, y, z) V |
. |
|
|
|
||
= ( , , )
Замена переменных по формулам { = ( , , )= ( , , )
G |
должна соответствовать ровно одна тройка декарто- |
|
называется формулами перехода от декартовых коор-
динат (x, y, z) к криволинейным координатам (u,v,w) .
Предполагается также, что функции x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w) непрерывно дифференцируемы в G, т.е. дифференцируемы во всех внутренних точках области G и непрерывны во всех ее точках, включая граничные точки.
Тем самым устанавливается взаимно-однозначное непрерывно дифференцируемое отображение об-
ласти G в пространстве |
Ouvw |
на область V в пространстве Oxyz. |
|
Так же, как и в случае криволинейных координат на плоскости, вводится понятие якобиана перехода от координат (x, y, z) к координатам (u,v,w) :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , , ) = |
|
|
|
|
|
|
. |
| |
|
|
|
|
|||
|
|
|
| |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Важное предположение при этом состоит в том, что J (u,v,w) 0 всюду в G, т.е. якобиан не обраща-
ется в нуль ни в одной внутренней точке области G.
Тогда при указанных предположениях и принятых обозначениях справедлива следующая формула замены переменных в тройном интеграле
V
f
(x, y, z)dxdydz
, где
f (x, y, z)
‒ произвольная непрерывная в V функция:
f (x, y, z)dxdydz f (x(u,v, w), y(u,v, w), z(u,v, w)) J (u,v, w) dudvdw |
|
V |
G |
(4)
Эта формула показывает, как выражается |
тройной интеграл по области, |
|||
координатах |
(x, y, z) |
точек области, через криволинейные координаты |
(u,v,w) |
|
|
|
|||
записанный в декартовых ее точек.
Замечание. Линия в пространстве Oxyz, у всех точек которой меняется только одна из координат
u,v, w |
|
|
|
|
, называется координатной линией этой координаты. Значит, остальные координаты на этой линии |
||||
остаются постоянными. Координатные линии самих декартовых координат |
x, y, z |
представляют собой |
||
|
||||
прямые в пространстве. Но координатные линии произвольно выбранной системы координат |
u,v, w |
яв- |
||
|
||||
ляются, вообще говоря, кривыми. Именно этим объясняется название «криволинейные координаты».
| | = |
|
|
, |
|
′→0 |
′ |
|
то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых объемов и ′.
Пусть в области задана непрерывная функция = (, , ), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции = (, , ) в области ′, где
(, , ) = ((, , ), (, , ), (, , )).
Рассмотрим интегральную сумму
∑ (, , ) = ∑ (, , ) ≈ ∑ (, , )| |′,
где интегральная сумма справа берется по области ′ (здесь = , ′ = ). Переходя к пределу при ′ → 0, получим формулу преобразования координат в тройном интеграле:
(, , ) = (, , )| |.
|
′ |
Рассмотрим наиболее часто используемые криволинейные системы координат в пространстве - ци-
линдрические и сферические.
Тройной интеграл в цилиндрических координатах
ной
r,
1). Цилиндрические координаты вводятся во всем трехмерном пространстве Охуz. В этой координат-
системе положение произвольной точки |
M M(x, y, z) |
в пространстве характеризуется тройкой чисел |
|
|
|||
, z |
|
|
|
, которые имеют следующий смысл: |
|
|
|
r, |
– это полярные координаты точки N, являющейся проекцией точки M на плоскость Оху, |
||
|
|||
z – это аппликата точки M, т.е. третья декартова координата этой точки.
z |
M(x,y,z)=M(r, ,z) |
O |
y |
|
r 
x 
N(x,y,0)= N(r, ,0)
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым координатам имеют вид:
= { = =
Вычислим якобиан перехода от цилиндрических координат к декартовым координатам:
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
( ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(, , ) = |
|
|
|
|
|
|
= | |
( ) |
|
( ) |
|
( ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
| |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
− |
0 |
| |
= | |
|
0| = . |
|
0 |
0 |
1 |
Следовательно, формула (4) замены переменных в тройном интеграле в случае цилиндрических коор-
динат принимает следующий вид:
( , , ) = ( , , ) (5)
для любой непрерывной функции |
f (x, y, z) |
в области V. |
|
Здесь G – область в пространстве Or z цилиндрических координат пространстве Oxyz.
r, , z,
отвечающая области V в
2). Для вычисления интеграла правой части формулы (5) можно применять формулы (1), (2) и (3) сведения тройного интеграла к повторным.
Например, применяя к интегралу правой части (5) формулу (1) (проектируя V на плоскость Oxy, получаем область D, описанную в полярных координатах), получаем формулу
|
|
(r cos , r sin ) |
||
f (x, y, z)dxdydz r dr d |
|
|
f |
|
V |
D |
(r cos , r sin ) |
||
Здесь область D рассматривается в полярных координатах |
r, |
. |
||
|
||||
(r cos ,r sin , z)dz
(6)
При проектировании области V на другую координатную плоскость, для описания этой проекции (области D) вводим полярные координаты на этой координатной плоскости.
Замечание. К цилиндрическим координатам удобно переходить, если область V образована цилиндрической поверхностью, а область D удобно описать в полярных координатах.
Пример 2. Вычислить тройной интеграл, перейдя к цилиндрическим координатам:
( 2 + 2) |
2 + 2 = 1 |
, : { + + = 2 |
|
|
= 0 |
2 + 2 = 1 – цилиндр, + + = 2 – наклонная плоскость, = 0 – координатная плоскость Oxy.
Вцилиндрических координатах уравнение цилиндра имеет вид:
2 = 1 = 1,
уравнение + + = 2 |
= 2 − ( + ). |
|
|
|
|
Область D – круг радиуса 1 с центром в начале координат, задается неравенствами: 0 ≤ ≤ 2 , 0 ≤ ≤ 1. |
|||||
|
|
2 |
1 |
2− ( + ) |
|
( 2 + 2) = 3 = ∫ |
∫ |
3 ∫ |
= |
||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 4 |
|
5 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
∫ (2 3 |
− 4( + )) = ∫ |
( |
|
− |
|
|
( + ))| |
|||||||||||
4 |
5 |
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 − 1 + 1) = |
||||||||
= ∫ |
( |
|
|
− |
|
( + )) = ( |
|
− |
|
( − ))| |
|
= − |
|
||||||
2 |
|
5 |
2 |
5 |
|
5 |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|