2-й семестр / Математический анализ критерии
.pdfПрактическое занятие «Несобственные интегралы»
I.Несобственный интеграл I рода (с бесконечными пределами).
Пусть |
функция |
( ) |
интегрируема на любом отрезке |
. Тогда |
||
несобственные интегралы I рода определяются следующим образом: |
|
|||||
∫ |
( |
) |
∫ |
( |
) , |
|
∫ |
( |
) |
∫ |
( |
) . |
|
Если предел в правой части существует (равен конечному числу), то интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.
∫ |
( ) |
∫ ( ) |
∫ ( ) , С – любое число. |
Если оба интеграла в правой части сходятся, то исходный интеграл сходится.
Если один интеграл сходится, а другой расходится, то исходный интеграл расходится.
Если оба интеграла в правой части расходятся, то про исходный интеграл нельзя сказать определенно о его сходимости или расходимости.
Примеры.
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
( |
|
)| |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
( |
( |
|
) |
( |
)) |
|
|
|
|
. Интеграл расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2). |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
( |
|
) |
|
|
|
|
| |
|
|
( |
|
) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
. Интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
|
) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
( ) |
|
|
|
|
|
( |
)| |
|
( |
)| |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вычислить самостоятельно или установить расходимость интегралов: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4). ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5). ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Указания:
а) интегрирование провести по частям;
б) при вычислении предела при подстановке бесконечного предела интегрирования воспользоваться правилом Лопиталя.
6). ∫ |
|
|
|
|
. Интеграл расходится. |
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим еще один интеграл: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
| |
= ( |
|
|
) Здесь a>0. Таким образом, если p>1, интеграл |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
( |
) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сходится, если p 1, интеграл расходится. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Признаки сравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
Пусть 0 |
f(x) g(x); a x |
. Если интеграл ∫ |
|
( |
) |
сходится, то сходится |
|||||||||
|
|
и интеграл ∫ |
( |
) |
. Если же интеграл ∫ |
|
( |
) |
, расходится, то |
|||||||
|
|
расходится и интеграл ∫ |
( ) |
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
Если существует конечный предел |
( |
) |
|
0, то интегралы |
|||||||||||
( |
) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∫ |
( ) |
и ∫ |
( ) |
сходятся или расходятся одновременно |
||||||||||
|
|
(предельный признак сравнения). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Установить сходимость или расходимость интегралов: |
|
|||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
; |sinx| 1; | |
|
| |
|
|
|
; интеграл ∫ |
|
сходится (p>1), тогда по первому |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
признаку сравнения, интеграл сходится. |
|
|
||||||||||||||||
2 ∫ |
|
|
; x e; lnx 1; |
|
|
|
|
|
|
; интеграл от степенной функции расходится |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
√ |
|
√ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(p |
1) и интеграл расходится. |
|
|
|||||||||||||||
Домашнее задание.
Вычислить несобственные интегралы I рода или установить их расходимость:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1). ∫ |
|
|
|
|
( |
√ ) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
||||||
2). ∫ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( |
|
)√ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3). ∫ |
|
|
|
|
|
. Интеграл расходится. |
|||||||
4). ∫
5). ∫
√
6). ∫ √
II.Несобственный интеграл II рода (от неограниченной функции).
Если функция |
( ) |
непрерывна в промежутке |
) и имеет в точке |
разрыв II рода, то несобственный интеграл II рода (от неограниченной |
|||
функции) определяется следующим образом: |
|
||
∫ ( ) |
∫ |
( ) . |
|
Если предел в правой части существует, то интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется
расходящимся.
Аналогично, если функция имеет разрыв II рода в точке |
, то |
|||||
∫ |
( |
) |
∫ |
( |
) . |
|
Если функция имеет разрыв II рода во внутренней точке |
, то |
|||||
∫ |
( |
) |
∫ ( ) |
∫ |
( ) . |
|
Интеграл называется сходящимся, если оба несобственных интеграла в правой части сходятся.
Примеры.
1). ∫ √ |
|
|
∫ √ |
|
|
|
|
√ |
|
| |
|
|
. Интеграл сходится. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2). |
∫ |
|
|
( |
|
) |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
( |
|
) |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Интеграл расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3). ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
∫ |
( |
|
|
|
|
) |
|
( |
| |
∫ |
|
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
+ ( |
|
|
|
|
|
|
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
. Интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить самостоятельно или установить расходимость интегралов: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4). ∫ |
|
|
( |
|
) |
|
Интеграл расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5). ∫
6). ∫
7). ∫
8). ∫
9). ∫
√
( )
√
√
√
√√
( |
) |
|
√ |
|
|
||
|
( |
) |
Интеграл расходится. |
||||
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
|
) |
|
|
|
|
( )
10). ∫ ( ) dx = (x=1) =… = Интеграл расходится
Домашнее задание.
Вычислить несобственные интегралы II рода или установить их расходимость:
1). ∫ ⁄⁄ |
|
. Интеграл расходится. |
||
2). ∫ |
|
|
. Интеграл расходится. |
|
|
|
|||
3). ∫ |
|
|
. Интеграл расходится. |
|
|
|
|||
4). ∫( ⁄ )
Типовой расчет, задача 2.1 в отдельной тетради, свой вариант.
Задача 2.2* для выполнения является необязательной, ее решение возможно для желающих после проработки лекционного материала 6 недели.