2-й семестр / Лекция 13
.pdfКриволинейные интегралы
1. Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)
Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая L. Рассмотрим непрерывную функцию ( , ), определенную в точках этой кривой.
Тогда существует ∫ ( , ) .
Он обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла, но есть отличие:
если A – начальная и B – конечная точки дуги, то
∫ ( , ) = ∫ ( , ) , то есть криволинейный интеграл I рода не зависит от направления интегрирования.
Вычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислению определенного интеграл:
1.Если кривая интегрирования задана в явном виде: { = ( ) , то
≤ ≤
∫ ( , ) = ∫ ( , ( ))√1 + ( ′ )2
|
|
выражение = √1 + ( ′ )2 называется дифференциалом длины дуги.
= ( )
2.Если кривая интегрирования задана параметрически: { = ( ) , то:
≤ ≤
∫ ( , ) = ∫ ( ( ), ( ))√( ′ )2 + ( ′ )2
|
|
= √( ′ )2 + ( ′ )2
= ( )
Вслучае пространственной кривой { = ( ), ≤ ≤
= ( )
∫ (, , ) = ∫ (( ), ( ), ( ))√( ′ |
)2 + (′ |
)2 + ( ′ |
)2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( )
3.Если плоская кривая L задана в полярных координатах: { ≤ ≤ , то:
∫ (, ) = ∫ (, )√ 2 + ′2 ,
= √ 2 + ′2
Во всех формулах нижний предел интегрирования должен быть меньше верхнего.
Примеры.
Вычислить криволинейный интеграл.
|
1. ∫ 2 , L – отрезок прямой между точками O(0;0) и A(4;3). |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим уравнение прямой OA: направляющий вектор = (4; 3) |
|||||||||||||||||||
|
= |
|
3 = 4 = |
3 |
, ′ = |
3 |
. Прямая интегрирования задана |
||||||||||||
4 |
|
3 |
|
4 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
явно, поэтому: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
||||
|
|
|
|
∫ 2 = ∫ ∙ ( |
3 |
) ∙ √1 + ( |
3 |
) = |
9 |
∙ |
5 |
∙ ∫ 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
4 |
|
16 |
4 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 4 4
=64 ∙ 4 |0 = 45
= √ 2
2. ∫( + ) : { 0 ≤ ≤ 2
Кривая интегрирования задана в полярных координатах.
Вычислим dl:
2 = 2, ′ = |
2 2 |
|
, ′2 = |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
, = |
√2 + ′2 |
= |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2√ 2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ 2 + |
22 |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
√ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∫ + = ∫ (√2 + √2 ) |
|
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫2( + ) = ( − )|2 |
= 1 − 0 − (0 − 1) = 2 |
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
2. ∫ |
, : { = , 0 ≤ ≤ 2. |
||
2+ 2 |
|||
|
|
= |
Пространственная кривая интегрирования задана параметрически.
= √(− )2 + ( )2 + 1 = √2,
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
3 2 |
8√ |
|
|
||
|
|
|
|
|
23 |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
|
= ∫ |
|
√2 = √2 ∙ |
|
| = |
|
|
|
||||
2 + 2 |
2 + 2 |
3 |
3 |
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения.
Вычислить криволинейный интеграл:
|
|
|
L – окружность 2 + 2 = 4 |
1. ∫ √2 + 2 |
|||
|
|
Указание: (окружность в полярных координатах). Ответ: 32.
2. ∫ √
L – часть параболы = 2 от точки A(0;0) до B(2;4).
1 3
Ответ: 12 (172 − 1).
3. ∫
L – отрезок прямой от точки A(1;0) до B(0;2).
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
√5 |
. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
4. ∫ 2 |
|
: { |
= − |
, 0 ≤ ≤ 2 . |
||
|
|
|
|
|
= 1 − |
|
Ответ: 25615 .
Поверхностные интегралы. Основные понятия
Пусть задана вектор-функция двух аргументов u,v, изменяющихся в некоторой области D(u,v):
При этом будем предполагать, что при разных значениях аргумента ( , ) ≠ ( 1, 1) и значения вектор-функции также различны:
̅( , ) ≠ ̅( 1, 1).
Вектор ̅( , ) откладывается от точки O (начало декартовой системы координат), т.е. является радиус-вектором точки ( , ). Геометрическое место всех точек ( , ) образует некоторую поверхность в пространстве.
При фиксированном v рассмотрим линию, заданную функцией
̅( , ) (линия u на рисунке). Через ̅ обозначим касательный вектор
к линии u в точке ( , ).
Аналогично ̅ – вектор, направленный по касательной к линии v в
точке ( , ).
Теорема. Касательные в точке M к всевозможным линиям, проведенным через эту точку на поверхности , располагаются в одной плоскости. Такая плоскость называется
касательной плоскостью к поверхности в точке M. Она
определяется векторами ̅ и ̅.
Определение 1. Прямая, проведенная через точку M перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке M. Вектор на этой прямой будем называть вектором нормали.
Вектор нормали ̅ можно вычислить как векторное произведение |
||
̅ = ±[ ̅,̅] касательных векторов ̅ и ̅. |
||
|
|
|
Определение 2. Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная плоскость, непрерывно меняющаяся вдоль поверхности (т.е. при движении по поверхности точки M).
Отметим, что это равносильно тому, что функция ̅( , ) дифференцируема и имеет непрерывные частные производные.
Если поверхность задана уравнением = ( , ) (точка (x,y) принадлежит области D), то она будет гладкой тогда и только тогда, когда функция ( , ) имеет непрерывные частные производные в области D.
Определение 3. Поверхность называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких частей, примыкающих друг к другу по гладким или кусочно-гладким линиям.
Гладкими поверхностями являются, например, плоскость, сфера, эллипсоид. Кусочно-гладкими – куб, конус.
Определение 4. Поверхность называется двусторонней, если какова бы ни была ее точка M и каков бы ни был замкнутый
контур C, проходящий через точку M и не пересекающий границы , после его обхода мы возвращаемся в точку M с исходным направлением нормали.
Определение 4. Поверхность называется односторонней, если на ней существует хотя бы один замкнутый контур, обходя который, мы придем в начальную точку с противоположным направлением нормали.
Примерами двусторонних поверхностей являются плоскость, сфера, эллипсоид, односторонней поверхности – лента Мебиуса.
Фиксировать определенную сторону гладкой поверхности – означает из двух возможных векторов нормали в каждой точке M выбрать такой, чтобы два выбранных вектора можно было бы перевести друг в друга непрерывным образом (при перемещении от одной точки поверхности к другой). Тем самым, выбор направления нормали в одной точке однозначно определяет выбор направления нормали во всех точках. Стороной поверхности будем называть совокупность точек поверхности с нормалями.
В случае незамкнутой двусторонней поверхности мы не будем заранее определять выбор той или другой стороны. Всякая замкнутая поверхность является, очевидно, двусторонней, и мы будем выбирать на ней внешнюю сторону, т.е. в каждой ее точке будем указывать внешнюю нормаль.
Поверхностные интегралы I типа (по площади поверхности)
Пусть задана некоторая гладкая поверхность и на ней функция f(M).
1). Разобьем на n частей 1, …
2). На каждой выберем точку Mk
3). Площадь обозначим ∆
4). Составим интегральную сумму ∑=1 ( )∆
5). Перейдем к пределу при стремлении к нулю максимального диаметра всех ячеек (диаметр ячейки – максимальное расстояние между ее двумя точками).
Определение. Поверхностным интегралом I типа от функции f(M) по поверхности называется предел интегральных сумм:
∑=1 ( )∆ , если предел существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек Mk, обозначается:
|
|
lim |
∑ |
( )∆ |
= |
( ) |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
(∆ )→0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства аддитивности и линейности, рассмотренные для криволинейных интегралов, справедливы и для поверхностного интеграла I типа.
При изменении ориентации поверхности знак поверхностного интеграла I типа не меняется.
Для поверхностного интеграла I типа также выполнены теоремы об оценке интеграла и о среднем значении.
Теорема существования. Если функция f(M) непрерывна на поверхности , то поверхностный интеграл I типа существует.
Замечание. Если функция f(M)=1, то получаем формулу для
вычисления площади поверхности : = .
Вычисление поверхностного интеграла I типа
Вычисление методом проектирования на координатные плоскости
Пусть гладкая поверхность взаимно однозначно проектируется на область D плоскости Oxy. Тогда, обозначив – угол между ̅ и ,
| | =
( ) = ( , , (, )) | |,
Где = ( , ) – уравнение поверхности ,
( , ) – непрерывно-дифференцируемая функция,
– направляющий косинус единичного вектора нормали к поверхности в точке ( , , (, )),
̅. ̅ = ∙ ̅+ ∙ ̅+ ∙
Запишем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке Mi: