Определители

Квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем.

Определение: Пусть дана квадратная матрица из четырех чисел.

.

Число а₁b₂ - а₂b₁ называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице.

Обозначается :

Числа а₁, а₂, b₁, b₂ называются элементами определителя.

Элементы а₁, b₂ лежат на главной диагонали определителя, а элементы а₂, b₁ - на побочной диагонали.

а₁ и а₂ – элементы первой строки.

b₁ и b₂ - элементы второй строки.

а₁ и b₁ - элементы первого столбца.

а₂ и b₂ – элементы второго столбца.

Пусть дана квадратная матрица из девяти чисел: a₁₁ a_{12 …} a₃₃ :

А=

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число = = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ –

- a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ - a₁₂ a₂₁ a₃₃ .

Число a_ij называется элементом определения, при этом первый индекс – i – указывает номер строки, а второй – j - номер столбца, которым принадлежит данный элемент. Говорят, также, что элемент a_ij находится на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Элементы a₁₁ a₂₂ a₃₃ – образуют главную диагональ определителя, а a₁₃ a₂₂ a₃₁ – побочную диагональ.

Правила вычисления определителя 3-го порядка:

1. Правило Саррюса:

Нужно взять сумму произведений трех элементов, зачеркнутых прямыми. При этом три произведения, соответствующие прямым, параллельным главной диагонали, берутся со знаком (+), а три произведения, соответствующих прямым, параллельным побочной диагонали, берутся со знаком (-).

2. Номера строк располагаются в порядке возрастания превого индекса, а номера столбцов – перестановки чисел 123:

123, 231, 312 | 321, 132, 213.

3. Правило треугольника.

(со знаком +) (со знаком -)

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ - a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₂₃ a₃₂ a₁₁ – a₃₃ a₁₂ a₂₁

Свойства определителей

Свойство 1. Величина определителя не изменяется, если все его строки заменить столбцами с тем же номером.

=

(Для доказательства достаточно расписать оба определителя и сравнить)

Свойство 1 означает равноправность строк и столбцов определителя.

Свойство 2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) равносильна умножению определителя на (-1).

Свойство 3. если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен 0.

Согласно свойству 2 при перестановке двух одинаковых строк знак должен поменяться, т.е. = - 2 = 0 =0.

Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца или строки на некоторое число , не равное 0, равносильно умножению определителя на . Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки или столбца можно вынести за знак определителя.

а а а а а а

а а а = а а а

а а а а а а

Для доказательства заметим, что определитель выражается в виде суммы, каждый член которой содержит один и только один элемент из каждой строки и каждого столбца.

Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца или строки равны 0,то определитель равен 0.

(Доказательство: это свойство есть частный случай предыдущего).

Свойство 6. Если соответствующие элементы двух строк или столбцов пропорциональны, то определитель равен 0.

а а а а а а

= а а а = а а а = 0=0. (по свойству 3 и 4)

а а а а а а

Свойство 7. Если каждый элемент n-го столбца (или n-ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-ом столбце (n-ой строке) имеет первые слагаемые, а другой - вторые. Элементы, стоящие на остальных местах этих определителей - одинаковые.

(Проверить применением правила треугольника к правой и левой частям).

Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца (или строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на некоторый общий множитель , отличный от 0, то величина определителя при этом не изменится.

Свойство вытекает из 7 и 6. Это свойство позволяет при вычислении определителя больше третьего порядка понижать порядок определителя.

а + а а а а а а а а а

а + а а а = а а а + а а а = + 0 =

а + а а а а а а а а а

Для рассмотрения дальнейших свойств определителей введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путём вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Алгебраическое дополнение элемента определителя равняется минору этого определителя, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число - нечётное: = .

Свойство 9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца или строки на их алгебраические дополнения. (Такая сумма называется разложением определителя по элементам строки или столбца).

=

= + + = + .

А₁₁ - алгебраическое дополнение элемента a .

Свойство 10. Сумма произведений элементов, какого либо столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю.

, i j

Доказательство:

Заменим элементы на , получим

.

Аналогично можно записать все суммы.