Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.
Сокращенная
формула:
Пример: вычислить интеграл.
Мы получили
уравнение, из которого можно найти
интересующий нас интеграл:
Формула замены переменной в определённом интеграле.
Пусть функция
непрерывна на промежутке [a;
b]
и пусть функция
определена на промежутке [α; β] и имеет
на этом промежутке непрерывную
производную. Кроме того, значения этой
функции не выходят за пределы промежутка
[a;
b]
(
),
а на концах промежутка [α; β] выполнены
условия:
.
Тогда справедлива следующая формула замены переменной:
Доказательство:
Докажем формулу замены переменной для интегралов с переменным верхним пределом. После этого достаточно лишь поставить b и β вместо верхних пределов интегрирования.
Докажем, что производные левой и правой частей одинаковы.
Поскольку производные одинаковы. Левая и правая части равенства (*) могут отличаться лишь на константу.
Если рассмотреть х = а, t = α, то получим, что эта константа равна нулю равенство (*) доказано, а следовательно доказана и вся формула замены переменной.
Пример:
Интегралы от четных и нечетных функций по симметричному промежутку.
Пусть функция
четная, т.е.
,
а промежуток интегрирования симметричный,
т.е. [-a;
a]
a
> 0. Тогда:
Пусть функция
нечетная, т.к.
,
а промежуток интегрирования симметричный,
т.е. [-a;
a]
a
> 0. Тогда:
Несобственные интегралы.
Определение:
несобственным интегралом с бесконечным
верхним пределом интегрирования
называется предел от определенного
интеграла, вычисленный при условии
стремления к бесконечности верхнего
предела интегрирования, т.е.
.
Если существует конечное значение данного предела, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Определение: аналогично вводятся несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом интегрирования и с обоими бесконечными пределами интегрирования, а именно:
.
Замечание: несобственные интегралы с одним или двумя бесконечными пределами интегрирования называют также несобственными интегралами первого рода.
Пример:
Мы получили, что площадь бесконечной фигуры равна 1. эту площадь надо понимать, как предел площадей конечных фигур, ограниченных вертикальными прямыми, когда правая граница фигуры стремится к бесконечности.
Вычисление несобственных интегралов вида:
Замечание: в качестве нижнего предела интегрирования можно брать любое положительное число.
p > 1
В
этом случае (при p
> 1) данный интеграл сходится.
p < 1
=
все вычисления проводятся также, как в
предыдущем пункте. После вычислений
получаем:
При p < 1 интеграл расходится.
p = 1
При p = 1 интеграл расходится.
Площадь плоской фигуры в Декартовых координатах.
П
усть
плоская фигура определена системой
неравенств:
.
Тогда площадь полученной фигуры:
Пример: найти площадь между линиями: y = x2 и x = y2
Лекция 10 Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных
(Тема 3.4.)
План лекции
Понятие функции нескольких переменных.
Частные производные.
Полный дифференциал.
Экстремумы функции нескольких переменных.
Двойные интегралы.
Вычисление двойных интегралов.