Свойства функций непрерывных на отрезке.

Функция называется непрерывной на отрезке [a,b] если она непрерывна на интервале (a,b) и, кроме того в точке a-непрерывна слева, а в точке b-справа.

Теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на отрезке [a,b] , то на отрезке [a,b] она достигает своего наибольшего и наименьшего значения , то есть существуют такие точки х₁ и х₂ , что для всех x выполняются неравенства и ( x₁ - максимум, x₂ - минимум).

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], тогда на этом промежутке она достигает свои наибольшее и наименьшее значения, т.е.:

; f (x₁) = m; f (x₂) = M.

Теорема Больцано-Коши: Если непрерывна на отрезке [a,b] и на концах его принимает различные значения, то между точками a и b найдется точка с, такая что

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b],

т.е.: f (x)  C _{[a; b]} и пусть на концах этого промежутка она принимает значения разных знаков (f (a) × f (b) < 0), тогда внутри промежутка [a; b] существует точка С, в которой функция обращается в ноль:

f (a) × f (b) < 0   с  (a; b) : f (c)=0

f (a) × f (b) < 0; f (c)=0

Таких точек (С) в принципе может быть несколько. Теорема Коши гарантирует, что есть хотя бы одна.

Замечание: на первой теореме Коши основан один из приближенных методов решения алгебраических уравнений, а именно метод половинного деления (дихатомии).

П усть нам известно, что не промежутке (a; b) уравнение f (x) = 0. в качестве первого приближенного значения корня берут середину этого отрезка:

Точность, с которой найден корень, равна половине ширины отрезка (a; b), обозначается δ.

2) на втором шаге выбирают в два раза меньший отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Обозначают его границы a₁; b₁, и в качестве второго приближенного значения корня берут его середину:

И так далее. На n-м шаге получим n-е приближенное значения корня:

Теорема Коши: Пусть непрерывна на отрезке [a,b] и , , тогда найдется для любого числа С, заключенного между числами А и В, внутри отрезка АВ ( ) такая точка С, что Если функция f (x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b] и принимает на концах этого промежутка разные значения, т.е. f (a) ≠ f (b), то для любого числа γ между числами f (a) и f (b) найдется (внутри промежутка (a; b)) точка С, такая, что функция в этой точке равна γ, т.е.

В торая теорема Коши является следствием первой теоремы Коши.

Следствие из теорем Коши и Вейерштрасса:

Если f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [a; b], то ее значения сплошь заполняют некоторый замкнутый промежуток.

Замечание: графики непрерывных функций на координатной плоскости являются непрерывными кривыми, т.е. их можно нарисовать не отрывая карандаш от листа бумаги.

Лекция 8 Дифференциальное исчисление функции одной переменной (Тема 3.2.)

План лекции

Определение производной её геометрический и физический смысл.

Производные элементарных функций.

Производная сложной функции, дифференциал функции.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Исследование функций с помощью дифференциального исчисления.