Точечные оценки m[X], d[X] и их свойства

Точечной оценкой  неизвестного параметра  называется любая статистика G = G(X₁, X₂, ... X_n), распределение которой сосредоточено вблизи неизвестного значения . Критерии качества оценок:

Несмещенность. Оценка  называется несмещенной оценкой , если M[] = .

Состоятельность. Оценка  называется состоятельной, если она становится все более точной с ростом объема выборки n, т.е.:

при n   или для любого   0

Эффективность. Оценка  называется эффективной среди оценок _i, если ее дисперсия является наименьшей среди всех дисперсий этих оценок _i.

Утверждение 1. Точечная оценка параметра M[X], является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех линейных оценок вида:

Утверждение 2. Точечная оценка параметра D[X], является смещенной так как .

Утверждение 3. Точечная оценка параметра D[X], является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех квадратичных оценок вида:

Методы получения Точечных оценок

Метод моментов основан на приравнивании моментов (центральных, начальных) СВ X к их выборочным оценкам. При этом число составляемых уравнений равно числу неизвестных параметров.

Пример. Пусть Х  R(a, b), где a и b - неизвестные параметры. Нужно найти точечные оценки A и B параметров a и b соответственно.

Согласно этому методу нужно вычислить два момента (начальный 1-го порядка и центральный 2-го порядка) СВ X: mX = (a+b)/2 и DX = (b-a)2/12 и составить два уравнения (1) и (2), приравнивая моменты (A+B)/2 и (B-A)2/12 к их соответствующим выборочным значениям и . Следовательно:

Метод максимального правдоподобия (Метод МП). Пусть получена конкретная выборка x₁, x₂, ..., x_n объема n и известен закон распределения СВ X с точностью до параметров ₁, ₂, ..., _k. В качестве оценок неизвестных параметров ₁, ₂, ..., _k, по этому методу принимают значения ₁, ₂, ..., _k, которые называют МП-оценками. Для их нахождения составим так называемую функцию правдоподобия:

где p_i(₁, ₂, ..., _k) = P{X_i = x_i} - вероятность того, что СВДТ X_i примет значение x_i; f(x; ₁, ₂, ..., _k) - плотность распределения СВНТ X. Функция T(x₁, x ₂, ..., x _k; ₁, ₂, ..., _k) показывает, на сколько правдоподобны значения СВ X, полученные в выборке объема n при некоторых параметрах ₁, ₂, ..., _k. Если ₁, ₂, ..., _k - истинные значения, то, очевидно, что T(x₁, x ₂, ..., x _k; ₁, ₂, ..., _k) > T(x₁, x ₂, ..., x _k; ₁, ₂, ..., _k), где ₁, ₂, ..., _k - значения отличные от истинных. Следовательно в качестве оценок ₁, ₂, ..., _k неизвестных параметров выбирают такие, при которых функция правдоподобия принимает максимальное значение, т.е. T(x₁, x ₂, ..., x _k; ₁, ₂, ..., _k) = max. Тогда решение следующей системы из k уравнений позволяет получить оценки ₁, ₂, ..., _k неизвестных параметров

Для упрощения вычисления МП-оценок удобно рассматривать логарифм функции правдоподобия, т.е. ln T(x₁, x ₂, ..., x _k; ₁, ₂, ..., _k). Свойства МП-оценок:

• оценки являются несмещенными и состоятельными;

• при больших значениях n (n > 10 ... 20) эти оценки имеют закон распределения, близкий к нормальному.

Пример 7. С целью определения среднего трудового стажа на предприятии методом случайной повторной выборки проведено обследование трудового стажа рабочих. Из всего коллектива рабочих завода случайным образом выбрано 400 рабочих, данные о трудовом стаже которых и составили выборку. Средний по выборке стаж оказался равным 9,4 года. Считая, что трудовой стаж рабочих имеет нормальный закон распределения, определить с вероятностью 0,97 границы, в которых окажется средний трудовой стаж для всего коллектива, если известно, что  = 1,7 года.

Решение. Признак Х – трудовой стаж рабочих. Этот признак имеет нормальный закон распределения с известным параметром  = 1,7, параметр а неизвестен. Сделана выборка объемом n = 400, по данным выборки найдена точечная оценка параметра а: _в = 9,4. С надежностью  = 0,97 найдем интервальную оценку параметра по формуле:

.

По таблице значений функции Лапласа (приложение 2) из уравнения Ф(t)  = 0,485 находим t = 2,17; тогда:

9,4 – 0,18 < _ген < 9,4 + 0,18. Итак, 9,22 <  _ген < 9,58, то есть средний трудовой стаж рабочих всего коллектива лежит в пределах от 9,22 года до 9,58 года (с надежностью  = 0,97).

С изменением надежности  изменится и интервальная оценка.

Пусть  = 0,99, тогда Ф(t) = 0,495, отсюда t = 2,58. Тогда:

или 9,4 – 0,22 < _ген < 9,4 + 0,22 .

Окончательно: 9,18 < _ген < 9,62.

Пример 8. С целью определения средней продолжительности рабочего дня на предприятии методом случайной повторной выборки проведено обследование продолжительности рабочего дня сотрудников. Из всего коллектива завода случайным образом выбрано 30 сотрудников. Данные табельного учета о продолжительности рабочего дня этих сотрудников и составили выборку. Средняя по выборке продолжительность рабочего дня оказалась равной 6,85 часа, а S = 0,7 часа. Считая, что продолжительность рабочего дня имеет нормальный закон распределения, с надежностью  = 0,95 определить, в каких пределах находится действительная средняя продолжительность рабочего дня для всего коллектива данного предприятия.

Решение. Признак Х – продолжительность рабочего дня. Признак имеет нормальное распределение с неизвестными параметрами. Сделана выборка объемом n = 30, по выборочным данным найдены точечные оценки параметров распределения: _в = 6,85; S = 0,7. С надежностью  = 0,95 найдем интервальную оценку параметра по формуле:

t_ находим по таблице (прил. 6), t_ = t(0,95; 30) = 2,045. Тогда:

, или 6,85 – 0,26 < _ген < 6,85 + 0,26 .

Итак, 6,59 <  _ген < 7,11 , то есть с надежностью  = 0,95 средняя продолжительность рабочего дня для всего коллектива лежит в пределах от 6,59 до 7,11 ч.