5. Математическое описание звеньев и сау. Типовые звенья.

Для решения задач САУ (анализ системы или синтез системы) нужно получить математическое описание системы (математическую модель системы).

Получение модели начинается с разбиения системы на звенья по математическому описанию, причем звенья направленного действия передают сигнал в одном направлении и изменение состояния этого звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход.

Типовые звенья САУ различают по виду их передаточной функции и виду дифференициалного уравнения. Различают 3 основных группы:

1) позиционные;

2) дифференцирующие;

3) интегрирующие.

Позиционными звеньями называются такие звенья, в передаточной функции которых многочлены N(S) и M(S) имеют свободный член, равный 1, т.е. эти звенья обладают статической характеристикой.

У дифферициальных звеньев в передаточной ф-ции отсутствует свободный член числителя.

У интегрирующих звеньев в передаточной функции отсутствует свободный член знаменателя.

Примеры:

6. Типовые воздействия в системе и реакция на них.

Типовые воздействия - наиболее часто встречающиеся или наиболее тяжелые для данной системы воздействия.

1. f (t) = δ(t) – единичный импульс.

2. f (t) = 1(t) – единичный скачок.

3. f (t) = sin ωt - гармонический сигнал.

4. f (t) = const – постоянные воздействия.

5. f(t) = υt – сигнал, изменяющийся с постоянной скоростью.

6. f(t) = a*t²/2 – сигнал, изменяющийся с постоянным ускорением.

Реакция на них:

1. весовая ф-ия k(t)

2. переходная ф-ия h(t)

3. формулы и графики, отражающие гармонический сигнал – частотные характеристики A(ω), φ(ω), логарифмические характеристики Lm(ω), φ(ω);

W(jω) = A(ω)*e^jφ(ω) – выражает и амплитуду и фазу.

Весовой ф-ей звена наз. оригинал передаточной ф-ии (обратное преобразование Лапласа от передаточной ф-ии).k(t)=L^-1{W(S)}=

S_i – все полюса передаточной ф-ииW(S).

Y(S) = W(S)*X(S)

K(t) = y(t) если X(S)=1→ X(t)=δ(t)

δ(t)- идиализированный импульс с бесконечно большой амплитудой

Весовая ф-ия – реакция звена на единичный импульс.

∞, t→0

δ(t) = 0,t≠ 0

Физ. Смысл -K(t) – переходный процесс на выходе звена при подаче на его вход единичного импульса.

Зная весовую ф-ию K(t) можно всегда определить передаточную ф-ию.

W(S) =L{k(t)}

Переходной ф-ией h(t) наз. реакция звена на единичное ступенчатое воздействие, т.е. это переходный процесс на выходе звена при единичном скачке на его входе.

1, t ≥ 0

1(t) = 0, t < 0

X(S) = L{1(t)} = 1/S Y(S) = W(S)*X(S)= W(S)/S

Y(t) = h(t) = L^-1{1/S*W(S)}

δ(t) = k(t) =

Имея одну из 3-х характеристик можно найти любую из недостающих.

Частотными хар-миназ. формулы и графики, характеризующие реакцию звена на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме, т.е. вынужденные синусоидальные колебания.

X(t) = sin ωt y(t) = Asin (ωt + φ)

X(t) = e^jωt e^jωt = cos ωt + jsin ωt

Для суждения о вынужденных синусоидальных колебаниях нужно исследовать реакцию звена на сигнал e^jωt. Для того чтобы перейти к частотным хар-кам нужно операторSзаменить наjω.

[W(S)]_s=jω = W(jω) =A(ω)*e^jφ(ω).

A(ω) = │W(jω) │ - амплитуд. Хар-ка

Φ(ω) = arg W(jω) – ФЧХ

W(jω) = A(ω)*e^jφ(ω) - АФЧХ.

Годограф – траектория, которую описывает конец радиус-вектора при изменении ωот 0 ∞ (в полярных координатах).

В прямоугольных координатах:

W(jω) =U(ω) +jV(ω)

A(ω) = √U²(ω) +V²(ω)