Тема 5: Матрицы.

Матрицей размерности n x m называется упорядоченное множество из nm элементов, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов:

Строки матрицы можно рассматривать как n наборов длины m или как n векторов. Аналогично, m столбцов могут интерпретироваться как векторы. Совокупность элементов a_ij, у которых номер строки и номер столбца равны друг другу, называется главной диагональю матрицы.

Пространством строк матрицы M размерности n x m называется совокупность всех линейных комбинаций вектор-строк матрицы. Оно образует подпространство векторного пространства наборов длины m. Размерность пространства строк называется рангом по строкам. (То же для столбцов).

5.1. Элементарные операции над сроками матриц

Для любых матриц существует следующая совокупность элементарных операций над строками:

1. Перестановка любых двух строк.

2. Умножение любой строки на ненулевой элемент поля.

3. Прибавление произведения одной строки из строк матрицы на ненулевой элемент поля к другой строке матрицы.

Теорема 1. Если одна матрица получается из другой путем последовательного выполнения элементарных операций над строками, то пространства строк этих двух матриц совпадают.

Доказательство. Если теорема верна для каждой элементарной операции над сроками, то, очевидно, что она верна и для последовательного применения таких операций. Для операции 1 и 2 утверждение теоремы очевидно. Предположим, что матрица M’ получена из матрицы M применением элементарной операции 3. Тогда, как измененная строка матрицы M’ является линейной комбинацией двух строк матрицы M, то любая линейная комбинация строк матрицы M’ также является линейной комбинацией строк матрицы M, так что пространство строк матрицы M’ содержится в пространстве строк матрицы M. Но матрица M может быть получена из M’ с помощью обратной операции, которая тоже является элементарной операцией типа 3., так что пространство строк матрицы M должно содержаться в пространстве строк матрицы M’. Поэтому пространства совпадают.

5.2. Ступенчатая каноническая форма матриц.

Элементарные операции над строками могут быть использованы для упрощения матрицы и приведения ее к стандартному виду (канонической форме).

Матрица имеет ступенчатую каноническую форму, если:

1. первый ненулевой элемент каждой ненулевой строки равен 1;

2. каждый столбец, содержащий первый ненулевой элемент некоторой строки, в качестве всех остальных элементов содержит нули;

3. первый ненулевой элемент каждой строки стоит правее первого ненулевого элемента каждой предыдущей строки. Все нулевые строки расположены ниже всех ненулевых строк.

Пример: матрица в ступенчатой канонической форме:

Ненулевые сроки матрицы в ступенчатой канонической форме линейно независимы. Число ненулевых строк совпадает с размерностью пространства строк.

Если все строки квадратной матрицы размерности n линейно независимы, то говорят, что матрица является невырожденной. После приведения такой матрицы к ступенчатой канонической форме должна остаться матрица с единицами по главной диагонали и всеми остальными нулями. Матрица такого вида называется единичной матрицей и обозначается как I.

Пример: единичная матрица: