4.3. Понятие поля

Полем называют множество с двумя определенными на нем операциями - сложением и умножением при справедливых следующих аксиомах:

Аксиома G1. Поле есть множество, которое образует абелеву группу по сложению.

Аксиома G2. Поле замкнуто относительно умножения, и множество ненулевых элементов образует абелеву группу по умножению.

Аксиома G3 (закон дистрибутивности). Для любых и из поля справедливо .

Единичный элемент относительно сложения принято обозначать через 0 и называть нулем; аддитивный обратный элементу элемент ; единичный элемент относительно умножения обозначать через 1 и называть единицей, мультипликативный обратный к элементу элемент . Под вычитанием понимается ; под делением понимается .

Полем называют коммутативное кольцо с единичным элементом относительно умножения, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент (т.е. обратный по умножению).

Примеры известных полей:

R : множество вещественных чисел;

С : множество комплексных чисел;

Q : множество рациональных чисел.

Все перечисленные поля содержат бесконечное множество элементов.

Конечное поле с элементами, если оно существует, называется конечным полем или полем Галуа и обозначается как .

Минимальное поле обязательно содержит нулевой и единичный элемент и определены следующие таблицы сложения и умножения:

+	0	1
0	0	1
1	1	0

*	0	1
0	0	0
1	0	1

Такое поле обозначается как поле . Данное поле является единственным.

Пусть – некоторое поле. Подмножество в называется подполем, если оно является полем относительно наследуемых из операций сложения и умножения. В этом случае исходное поле называется расширением поля.

4.4. Подгруппы и фактор группы

Некоторое подмножество элементов группы называется подгруппой , если оно удовлетворяет всем аксиомам группы. Для того чтобы определить, является ли подгруппой, нужно проверить только замкнутость и наличие обратных элементов. Если множество замкнуто относительно групповой операции и содержит обратные элементы, то оно должно также содержать единичный элемент группы.

Пример: в группе всех целых чисел совокупность всех чисел, кратных заданному числу , является подгруппой для любого .

Обозначим элементы группы через , … а элементы подгруппы , … и рассмотрим таблицу, образованную следующим образом. Первая строка состоит из элементов подгруппы, причем она начинается с единичного элемента, и каждый элемент подгруппы появляется в строке только один раз. Первым элементом второй строки может быть любой элемент группы, не входящий в первую строку, а все остальные элементы получаются умножением слева всех элементов подгруппы на первый элемент строки. Аналогично образуются тре­тья, четвертая, пятая и т. д. строки, каждая с неиспользованным прежде элементом группы в начале строки, до тех пор, пока каж­дый элемент группы не войдет в таблицу:

h1=1,	h2,	h3,	…,	hn
g1h1=g1,	g1h2,	g1h3,	…,	g1hn
g2h1=g2,	g2h2,	g2h3,	…,	g2hn
. .	. .	. .	. .	. .
gmh1=gm,	gmh2,	gmh3,	…,	gmhn

Совокупность элементов в строке этой таблицы называется ле­вым смежным классом, а элемент, стоящий в первом столбце строки, называется образующим смежного класса (лидер). Правые смеж­ные классы могут быть построены аналогичным образом. Сама таблица задает разложение группы на смежные классы.

Теорема 1. Два элемента и группы входят в один и тот же левый смежный класс по подгруппе в тогда и только тогда, когда произведение принадлежит .

Доказательство. Если и принадлежат смежному классу, образующим которого является элемент , то для неко­торого , для некоторого и , т. е. произведение принадлежит под­группе. С одной стороны, если , где — образующий смежного класса, и , то , так что входит в тот же самый смежный класс, поскольку принадле­жит подгруппе.

Теорема 2. Каждый элемент группы принадлежит одному и только одному смежному классу по подгруппе .

Без доказательства.

Число элементов группы называется порядком группы. Число различных смежных классов в разложении группы по подгруппе называется индексом в .

Подгруппа группы называется нормальной, если для любого элемента из и любого элемента из произведение принадлежит . То есть в данном случае разложение на левые и правые смежные классы дает одинаковый результат. В абелевых группах все подгруппы являются нормальными.

Если подгруппа группы нормальная, то можно ввести операцию над смежными классами, так, что получится новая группа, элементами которой будут смежные классы. Такая группа называется фактор-группой и обозначается как . Смежный класс, содержащий элемент , обозначается через .

Пример: Пусть дана аддитивная группа , состоящая из положительных и отрицательных целых чисел и нуля и подгруппа , состоящая из чисел, кратных 4. Операция, определенная над группой есть арифметическое сложение. Тогда разложение на смежные классы выглядят следующим образом:

0	4	-4	8	-8	12	-12	…
1	5	-3	9	-7	13	-11	…
2	6	-2	10	-6,	14	-10	…
3	7	-1	11	-5	15	-9	…

Если обозначить смежные классы через , то таблица сложения, задающая группу, элементами которой являются смежные классы, имеет вид:

+	{0}	{1}	{2}	{3}
{0}	{0}	{1}	{2}	{3}
{1}	{1}	{2}	{3}	{0}
{2}	{2}	{3}	{0}	{1}
{3}	{3}	{0}	{1}	{2}

Данная таблица является также таблицей сложения чисел по модулю 4.