Тема 4: Введение в алгебру

Предмет изучения - арифметическая система, используемая для исследования кодов, контролирующие ошибки.

Определения (неформальные, Р. Блейхут):

1. Абелева группа: множество математических объектов, которые можно складывать и вычитать.

2. Кольцо – множество математических объектов, которые можно складывать, вычитать и умножать.

3. Поле – множество математических объектов, которые можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Операции могут и не являться действительными арифметическими операциями. Их названия приняты только из-за сходства.

4.1. Понятие группы

Группой называется совокупность объектов или элементов, для которых определена некоторая операция и выполняются четыре аксиомы. Пусть – элементы группы. Операция – это однозначная функция двух переменных . Обычно записывается как или . + - операция сложения, * - операция умножения.

Аксиома G.1 (свойство замкнутости). Операция может быть применена к любым двум элементам группы, в результате чего получается третий элемент группы.

Аксиома G.2 (ассоциативный закон). Для любых трех элементов и группы , если операция записана как сложение, или , если операция записана как умножение.

Аксиома G.3. Для операций над элементами группы существует единичный элемент.

Если операция называется сложением, то единичный элемент называется нулем (0): , выполняется для каждого элемента группы. Если операция называется умножением, то единичный элемент называется единицей (1): .

Аксиома G.4. Каждый элемент группы обладает обратным элементом.

Если операция называется сложением, то обратный элемент элементу обозначается через : . Если операция называется умножением, то обратный элемент обозначается как и определяется уравнением .

Теорема 1. Группа обладает единственным единичным элементом, и каждый элемент группы имеет единственный обратный элемент.

Доказательство: В группе только один единичный элемент. Так, если имеются два единичных элемента 1 и 1’, то . Аналогично обратный элемент единственен, потому что если бы некоторому элементу группы соответствовали два обратных ему элемента и , то выполнялась бы цепочка следующих равенств:

Примеры групп:

- бесконечное множество действительных чисел относительно операции сложения;

- совокупность всех положительных и отрицательных чисел с нулем относительно сложения;

- все действительные числа без нуля относительно операции умножения.

- повороты правильного треугольника:

Коммутативная группа, также называемая абелева, — группа, в которой оператор обладает дополнительным свойством — коммутативностью Все представленные группы являются абелевыми.

Пример конечной неабелевой группы (алгебраическая интерпретация преобразований геометрических фигур).

4.2. Понятие кольца

Кольцом называется множество элементов, на котором определены две операции. Одна из них называется сложением и обозначается как , а другая называется умножением и обозначается как . Для того чтобы было кольцом, должны выполняться следующие аксиомы:

Аксиома R.1. Множество является абелевой группой относительно операции сложения, т.е. аддитивной абелевой группой.

Аксиома R.2 (замкнутость). Для любых двух элементов и из множества определено произведение , которое является элементом .

Аксиома R.3 (ассоциативный закон). Для любых трех элементов и из множества .

Аксиома R.4 (дистрибутивный закон). Для любых трех и из множества справедливы равенства и .

Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения, т.е. если для любых двух элементов a и b выполняется равенство ab=ba.

Теорема 2. Для произвольных элементов и кольца справедливо следующее:

,

.

Доказательство:

.

.

Операция сложения в кольце имеет единичный элемент, называемый нулем. Операция умножения не обязательно имеет единичный элемент, но если он есть, то является единственным. Кольцо с единственным единичным элементом относительно умножения называется кольцом с единицей (1). Тогда для всех a из имеет место равенство: .

Относительно операции сложения каждый элемент кольца имеет обратный. Относительно операции умножения элемент, обратный данному элементу, не обязательно существует, но в кольце с единицей обратные элементы могут существовать. Это означает, что для данного элемента a может существовать элемент , такой, что . Если это так, то называется правым обратным к . Аналогично, если существует элемент , такой, что , то называется левым обратным к .

Теорема 3. В кольце с единицей:

- единица единственна;

- если элемент имеет как правый обратный , так и левый обратный , то элемент называется обратимым, причем обратный ему элемент является единственным .

- .

Примеры колец:

- Множество всех вещественных чисел образует коммутативное кольцо с единицей относительно обычных операций сложения и умножения. Каждый нулевой элемент кольца является единицей.

- Множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) образует коммутативное кольцо с единицей относительно обычных операций сложения и умножения.