4.Расчеты надежности сложных систем (логико-вероятностный метод)

Теоретической основой ЛВМ является математическая логика (булева алгебра), которая оперирует с логическими выражениями, имеющими значения «истинно» (1) или «ложно» (0). Логические выражения y являются функциями логических переменных x₁, x₂, …,x_n, каждая из которых также может иметь значения 0 или 1. Из n переменных может быть образовано2ⁿ наборов и 2²ⁿ логических функций. Логические функции, которые применительно к задачам надежности принято называть функциями работоспособности (надежности), могут задаваться в словесной форме, таблицами истинности, алгебраическими выражениями или графиками.  Для записи функции работоспособности в алгебраической форме используется одно из следующих выражений:  (3.2) или  (3.3) где y_i – значение функции работоспособности для соответствующей строки, 0 или 1;  m_i – конъюнкция набора элементов i-ой строки; M_i – дизъюнкция набора элементов i-ой строки. Представление функции работоспособности в виде (3.2), включающем в каждую дизъюнкцию конъюнкции всех элементов, называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), а в виде (3.3) - совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).  Для записи функции работоспособности в минимальной бесповторной дизъюнктивной форме могут быть использованы минимальные пути, а в конъюнктивной – минимальные сечения. Принципы их определения рассмотрены ранее. В качестве примера запишем функцию алгебры логики (ФАЛ) в виде СДНФ и СКНФ, описывающих усло­вия работоспособности системы с НФС, изображенной на рис. 3.5.  Рис.3.5 ФАЛ, записанная через СДНФ по формуле (3.2), будет иметь вид: . ФАЛ, записанная по формуле (3.3) имеет вид: Раскрыв скобки во втором выражении и сделав несложные преобразования, нетрудно убедиться, что эти выражения тождественны, однако запись ФАЛ через СКНФ получилась более громоздкой. При оценке надежности невосста­навливаемых систем запись ФАЛ через СКНФ может быть рекомендована лишь в том случае, когда в НФС явно преобладают параллельные соединения элементов. Обязательным условием выполнения расчетов ПН для невосстанавливаемых систем является получение ФАЛ в так называемой бесповторной форме. Как видно из приведенного примера, процедуры составления исходных ФАЛ и их приведение при необ­ходимости в бесповторную форму для многокомпонен­тных систем могут оказаться весьма громоздкими и трудоемкими. Эти трудности возрастают при сетевых структурах систем, так как требуются специальные способы преобразования исходных повторных ФАЛ в бесповторные, то есть такие, в которых каждая логическая переменная присутствовала бы в прямом или инверсном виде лишь один раз. Для практического занятия достаточно изучить способ преобразования структуры типа "треугольник" в эквивалентную ей по характерис­тикам надежности структуру типа "звезда" и способ (алгоритм) разрезания (разложения исходной структуры по ключевым элементам).  Рекомендованные способы преобразования НФС примерно равноценны лишь при условии разложения по одному ключевому элементу. Если таких элементов в исходной структуре несколько, проще использовать метод преобразования "треугольник-звезда". Однако в отличие oт алгоритма разрезания он может быть применен только тогда, когда в НФС имеются замкнутые контуры типа "треугольник". Перед тем, как рассмотреть способы получения бесповторных ФАЛ, сформулируем правила перехода от логической функции к вероятностной: 1) символ функции работоспособности   в левой части ФАЛ заменяется на символ вероятностного ПН системы; 2) символы каждой логической переменной заменяются на вероятностный ПН соответствующего элемента системы, причем  , а   (3.4) 3) конъюнкций из   логических переменных переводится в произведение М вероятностных ПН соответствующих элементов системы ,   (3.5) 4) дизъюнкция из М логических переменных переводится а выражение следующего вида:  , (3.6) где  ;  ;  ;  ; m полный набор номеров элементов НФС;  число сочетаний из M членов по N.  Перейдем к рассмотрению эквивалентных преобразований повторных ФАЛ в бесповторные.

3.1.1 Метод минимальных путей и сечений  В ряде случаев для анализа надежности сложной системы бывает достаточным определить граничные оценки надежности сверху и снизу. При оценке вероятности безотказной работы сверху определяют минимальные наборы работоспособных элементов (путей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. При формировании пути, считая, что все элементы находятся в неработоспособном состоянии, последовательным переводом элементов в работоспособное состояние производят подбор вариантов соединений элементов, обеспечивающих наличие цепи. Набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в пределах одного пути элементы находятся в основном соединении, а сами пути включаются параллельно. Рис. 3.1. Мостиковая схема соединения элементов Так, для рассмотренной мостиковой схемы (см. рис. 3.1) набор минимальных путей представлен на рис. 3.2. Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, то в результате расчета получается оценка безотказности сверху: . При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы. При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы. Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В пределах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения. Схема минимальных сечений для мостиковой схемы приведена на рис. 3.3. Поскольку один и тот же элемент включается в два сечения, то полученная оценка является оценкой снизу: . Рис. 3.2. Набор минимальных путей Рис. 3.3. Набор минимальных сечений В рассматриваемом примере оценка безотказности снизу совпадает с фактической безотказностью, рассчитанной по первым двум методам. Таким образом, при составлении минимальных путей и сечений любая система преобразуется в структуру с параллельно-последовательным или последовательно-параллельным соединением элементов. 5.Расчеты надежности сложных систем (преобразование треугольник-звезда)

Сущность этого приема поясняется с помощью рис.3.6. Исходя из основного критерия эквивалентного преоб­разования равенства ПН цепей «треугольника» и «звезды» между одинаковыми точками и учитывая правила перехода от ФАЛ к ВФ (3.4) - (3.6), можно для структуры, показанной на рис.3.6, составить систему уравнений:  (3.7) Рис.3.6 В результате решения системы уравнений (3.7) определяются значения ПН элементов эквивалентной «звезды»  . В частном случае, когда все элементы равнонадежны: . Если в исходной НФС может быть выделено несколько звеньев типа «треугольник», преобразование делают одновременно для всех звеньев, как это показано на рис.3.6. Для упрощения расчетов значений   и   без существенной потери точности рекомендуется следующий прием. В системе уравнений (3.7) ПН р записываются через вероятности отказов  . Если в полученной новой системе уравнений пренебречь произведениями вида  ,  ,   и  , то получим соотношения: ;  ;   (3.8) Еще раз обратившись к рис.3.6, определим простое правило составления уравнений (3.8): выражение запи­сывается обязательно для вероятностей отказа, причем этот показатель для элемента «звезды», присоединяемого к какой-либо вершине «треугольника», равен произведению показателей элементов «треугольника», прилегающих к этой же вершине. Для дальнейших расчетов делается об­ратный перевод показателей   в показатели  , например, . 6.Расчеты надежности сложных систем (метод ключевого элемента).

Этот метод основан на использовании формулы полной вероятности. В сложной системе выделяется особый элемент, все возможные состояния H_i которого образуют полную группу,  . Если анализируемое состояние системы А, то его вероятность , (3.1) Второй сомножитель в (3.1) определяет вероятность состояния ^ А при условии, что особый элемент находится в состоянии H_i. Рассмотрение H_i -го состояния особого элемента как безусловного позволяет упростить структурную схему надежности и свести ее к последовательно-параллельному соединению элементов. Так, в рассматриваемой мостиковой схеме (рис. 3.1) выделение элемента 5 в качестве особого с двумя возможными состояниями (1 — наличие и 2 —отсутствие цепи) Р{Н₁}=р₅; Р{Н₂}=q₅ позволяет от структурной схемы, представленной на рис. 3.1, перейти при безусловно исправном состоянии элемента 5 к схеме, представленной на рис. 3.4, а, При отказе элемента 5 структурная схема имеет вид, представленный на рис. 3.4, б. Если состояние А — наличие цепи между а и b, имеем: ; . Рис. 3.4. Структурные схемы мостикового соединения элементов, соответствующих наличию (а) цепи в элементе 5 и ее отсутствию (б) Сопоставление обоих методов расчета надежности показывает, что выделение особого элемента с последующим анализом упрощенных структурных схем существенно сокращает выкладки.  7.Расчеты надежности сложных систем (типовые случаи расчета надежности: последовательное, параллельное и смешанное соединение элементов) 8.Расчет надежности с использованием марковских случайных процессов

Пусть имеется некоторая система s. Говорят, что вsпроисходит случайный процесс, если он к стечением времени под влиянием случайных факторов (например, отказов и восстановлений отдельных компонентов) переходит из одного состояния в другое.

Такая система называется с дискретным состоянием, если она имеет конечное количество возможных состояний и переход из одного состояния в другое осуществляется скачком. Для описания случайного процесса, проистекающего в системе пользователя вероятностями состояний Р₀(t),P₁(t) …P_k(t) гдеP_i(t) (i=0,…k) – вероятность того, что система в моментtнаходится в состоянииs_i. 

Случайный процесс, протекающий в sназываетсяпроцессом в дискретном времени,если переходы из одного состояния возможны в определенные периоды времени. Если переходы возможны в любой момент времени, то процесс называетсянепрерывным.

Случайный процесс называется Марковским (если процесс без последствия) если все Р. процесса в будущем зависят от того, в котором состоянии находится процесс настоящем, и не зависят от того, каким образом этот процесс протекал в прошлом.

Марковский процесс представляет собой Марковскую цепь с k– различным состоянием и может быть предоставлен матрицей значений переходных вероятностей.

Марковская цепь в состоянии iна очередном шаге перейдет в состояниеj. Переход вероятности не зависит от номера шага, т.е. процесс перехода стационарен во времени то есть Марковская цепь является дискретным случайным процессом с дискретным временем из которого переход осуществляется через некоторый интервал времениtиз одного состояния в другое счетное число состояний. Длительность пребывания в состоянииs_iявляется случайной величиной для которогоF_k(t) состояний. Все распределенияF_k(t) подчинены экспоненциальному закону.

Марковский процесс обладает характерными свойствами, определенными в первую очередь экспоненциальными распределениями времени пребывания в каждом состоянии.

1. Марковский процесс обладает свойством стационарного перехода в другую вероятность и длительность пребывания в том или ином состоянии не зависит от того в какой момент времени рассматривается этот процесс.

2. Свойство оригинальности- за бесконечный промежуток времени не может произойти более одного перехода из одноного состояния в другое.

3. Обладает свойством последствия.

Марковский процесс удобно описывать ориентировочно графом переходов вершины которого, представляют собой состояние, а) веса ребер соответствующих интенсивности перехода из одного состояния в другое. Зная переходную вероятность P_ijи параметр_iраспределение времени пребывания процесса вiсостоянии можно легко найти веса по формуле:_ij=P_ij_i.

Если при описании процесса перехода система из одного состояния в состояние сохраняет Марковское свойство, то пребывание F_k(t) подчиняется произвольному, не экспоненциальному закону, то такой процесс называетсяполумарковским или неоднородным Марковским процессом.

На основании графических переходов можно составить дифференциальные уравнения для нахождения вероятности пребывания Марковского процесса в состоянии P_i.

1. Производная по tот пребывания системы в моментtв состоянииP_iравна сумме произведений интенсивности переходов на составляющую вероятность. При этом слагаемым которые, соответствуют выходящим из одного состояния стрелки в другое приписывается знак “–”, а остальные состояния “+”. Общее число слагаемых равно числу входящих и выходящих.

Система дифференциальных уравнений содержит k– уравнений, но они зависимы, поэтому нужно дополнить их уравнением нормировки, которое показывает, что сумма событий полную группу равна 1.

Различают два типа случайных процессов:

а) при первом попадании в нерабочее состояние процесс прекращается (процесс с поглощающим экраном).

в) система находится в стационарном режиме отказов (с отражающим экраном).

Первый случай для не восстановимого изделия, а второй для изделия которое можно восстановить.

P₁(t) – состояние работоспособности изделия.

Р₂(t) – состояние отказов

 и интенсивность отказа и его восстановление.





;

Пусть Р₁(0) = 1

В стационарном режиме при tзначение производной = 0. В результате получаем систему линейных алгоритмических уравнений. Это справедливо только для системы с отражающим экраном.

З



а дана система дублирования с восстановлением:



P_i= lim P_i(t) t

i = 0, 1, 2, 3.

Р₀+Р₁+Р₂+Р₃ = 1

. k=P₀ +P₁+P₂.

Для системы с поглощающим экраном стационарный режим не существует и с ростом времени вероятность для такой системы попасть в поглощающее состояние 1.

;  ; 

P₀= 1

P₁= 0

P₂= 0

P₃= 0 9.Резервирование. Классификация

Признак классификации	Вид резервирования и резерва
Способ включения резерва	Постоянное резервирование. Резервирование замещением
Кратность резервирования	Однократное резервирование Многократное резервирование
Схема включения резерва	Общее резервирование Раздельное резервирование
Состояние резерва	Ненагруженный резерв Облегченный резерв Нагруженный резерв
Характеристика резерва	Восстанавливаемый резерв Невосстанавливаемый резерв
Фиксация резерва	Фиксированное резервирование. Скользящее резервирование
Однородность резервирования	Однородное резервирование. Смешанное резервирование

Функциональное резервирование —метод повышения надежности объекта, предусматривающий использование способности элементов выполнять дополнительные функции.

Нагрузочное резервирование —метод повышения надежности объек­та, предусматривающий использование избыточности по его способ­ности к восприятию нагрузок.

Основной элемент—элемент структуры объекта, минимально не­обходимой для обеспечения его работоспособности.

Резервный элемент —элемент, предназначенный для обеспечения работоспособности объекта в случае отказа основного элемента.

Общее резервирование —резервирование, при котором резерв пре­дусматривается на случай отказа объекта в целом.

Раздельное резервирование —резервирование, при котором резерв предусматривается на случай отказов отдельных элементов объекта или их групп.

Смешанное резервирование—резервирование, при котором имеет место совмещение различных видов резервирования в одном объекте.

Однородное резервирование —резервирование, при котором в одном объекте используется лишь один вид резервирования.

Постоянное резервирование—резервирование, при котором резерв­ные элементы участвуют в функционировании объекта наравне с ос­новными.

Резервирование замещением—резервирование, при котором функ­ции основного элемента передаются резерву только после отказа ос­новного элемента.

Скользящее резервирование —резервирование замещением, при ко­тором группа основных элементов объекта резервируется одним или несколькими резервными элементами, каждый из которых может за­менить любой отказавший основной элемент в данной группе.

Фиксированное резервирование —резервирование, при котором место подключения каждого резервного элемента строго определено заранее.

Нагруженный резерв —резервный элемент, находящийся в том же рабочем режиме, что и основной элемент.

Облегченный резерв —резервный элемент, находящийся в менее нагруженном рабочем режиме, чем основной.

Ненагруженный резерв —резервный элемент, практически не не­сущий нагрузок.

Восстанавливаемый резерв —резервный элемент, работоспособ­ность которого в случае отказа подлежит восстановлению.

Невосстанавливаемый резерв —резервный элемент, работоспособ­ность которого в случае отказа не подлежит восстановлению.

Кратность резервирования —отношение числа резервных эле­ментов к числу резервируемых элементов объекта.

Однократное резервирование (дублирование) —резервирование, кратность которого равна единице.

Многократное резервирование —резервирование, кратность кото­рого выражается числом, большим единицы.

Резервирование с восстановлением —резервирование, при котором работоспособность любого основного и резервного элементов объекта в случаях возникновения их отказов подлежит восстановлению.

Резервирование без восстановления —резервирование, при котором работоспособность любого основного и резервного элементов объекта в случаях возникновения их отказов восстановлению не подлежит.