Законы теплового излучения абсолютно черного тела

После установления закона Кирхгофа перед теорией возникла задача найти явный вид зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от частоты и температуры. Сначала удалось решить более скромную задачу.

Больцман (1884), применив термодинамический метод показал, что установленный Стефаном (1879) эмпирический закон справедлив только для абсолютно черного тела

(37)

где σ – постоянная Стефана-Больцмана (σ =5,77·10^-8 Вт/м²К⁴). Эта формула носит название закона Стефана-Больцмана.

Эксперименты показали, что зависимость излучательной способности абсолютно черного тела от частоты при разных температурах имеет вид, показанный на рис.41.

Рис.41

Существование максимума на кривых спектральной плотности свидетельствует. что энергия излучения по спектру распределена неравномерно, черное тело излучает мало энергии в области малых и больших частот. Площадь, охватываемая кривой распределения энергии дает энергетическую светимость абсолютно черного тела R⁰ и эта площадь возрастает пропорционально Т⁴.

Значительно трудной оказалось решение задачи по установлению явного вида функции Кирхгофа , описывающего кривые, представленные на рис. . Важный шаг в этом направлении сделал Вин (1893), рассмотревший излучение абсолютно черного тела с термодинамической точки зрения. Для функции Кирхгофа он получил выражение вида

. (38)

Ему не удалось выразить явный вид функции, зависящей от отношения частоты к абсолютной температуре . Тем не менее, из такой зависимости были получены важные выводы. Из (38) можно вывести закон Стефана-Больцмана

,

где – постоянный коэффициент, .

Из формулы Вина следует, что частота, соответствующая максимуму кривой спектральной плотности ν_m, выражается формулой

, (38)

где b₁ – постоянная величина. Эту формулу называют законом смещения Вина: частота, соответствующая максимуму спектральной плотности абсолютно черного тела, прямо пропорционально его абсолютной температуре. Из этой формулы легко получить более известную формулу

, (39)

где b – постоянная Вина (b =2,898·10^-3м·К). Длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности абсолютно черного тела, обратно пропорционально его абсолютной температуре. Из формулы Вина можно получить выражение для максимальной спектральной плотности

,

которая показывает, что она пропорциональна пятой степени абсолютной температуры. Максимум кривой с температурой растет пропорционально Т⁵.

Дальнейший поиск функции Кирхгофа осуществили Релей и Джинс. В отличие от остальных исследователей для этого они применили методы классической статистической физики. Они рассчитывали распределение энергии электромагнитных волн по частотам в закрытой полости, в которой в результате интерференции падающих на стенки полости и отраженных волн образуются стоячие волны. Определяли число независимых пучностей волн и затем применяли к ним закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы. В результате они получили формулу

. (40)

Кривая Релея и Джинса изображена на рис.42 линией 1.

Рис. 42

Видно, что кривая Релея-Джинса 1 согласуется с данными опыта лишь в области малых частот (длинных волн). В области больших частот она сильно расходится с экспериментальной кривой 2, показывая свою непригодность для описания излучательной способности абсолютно черного тела. Формула Релея и Джинса расходилась с законами смещения Вина и Стефана-Больцмана. Она приводила к абсурдному результату, что при любой температуре энергетическая светимость обращается в бесконечность.

.

Все эти затруднения, которые образно были названы «ультрафиолетовой катастрофой» указывали на непригодность принципов классической физики для описания процесса излучения атомов и на необходимость их пересмотра. Этот пересмотр был выполнен М. Планком в 1900 г. Планк рассматривал атомы как осциллирующие диполи. Он показал, что правильное выражение для можно получить лишь предположив, что излучение испускается атомами не непрерывно, как полагает классическая физика, а в виде отдельных порций энергии ε₁, ε_2, ε_3,…. Энергия каждой такой рции пропорциональна частоте

,

где h – универсальная постоянная по всему спектру, получившая название постоянной Планка, в системе «СИ» она равна h = 6,62·10^-27 Дж·с.

Полученная на этом основании формула Планка

(41)

очень точно описывала экспериментальную кривую, изображенную на рис.41. Заметим, что в области малых частот формула Планка переходит в формулу Релея и Джинса. Интегрирование формулы Планка по частоте приводит к выражению

.

Найденное из этой формулы значение σ = =5,77·10^-8 Вт/м²К⁴ хорошо согласуется с экспериментальным значением.

Решение задачи на экстремум функции распределения Планка приводит к закону Вина

T·_max = hc/4,965k = b.

Найденная из этого выражения постоянная Вина равна b=2,90·10^-3м·К и хорошо согласуется с результатом эксперимента.

Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного излучения абсолютно черного тела. С этой формулы началось дальнейшее развитие квантовой физики.

Явления, подтверждающие квантовый характер излучения