2.2. Ценообразование опционов.
В данной работе, мы рассмотрим только одну модель ценообразования, Модель Блэка-Шоулса. Существует достаточно много моделей ценообразования. Однако, лучше всего использовать ту модель, которая применяется на той биржевой площадке, на которой вы торгуете, т.к. большинство участников будет придерживаться именно этой модели ценообразования.
Понятие волатильности.
Волатильность – это показатель, характеризующий изменчивость цены актива во времени.
Различают два вида волатильности:
Историческая волатильность – изменчивость базового актива, рассчитывается на основе ценовой истории базового актива.
Опционная (ожидаемая) волатильность – параметр ценообразования опционной премии, рассчитывается исходя из сделок по опционам. Отражает ожидаемые трейдерами риски базового актива.
Историческая волатильность.
Расчет исторической волатильности:
-
расчет процента изменения через
определенный период времени.
или
- расчет непрерывного
процента изменения.
- расчет среднего
значения изменений - это величина,
усредненная за весь период наблюдения.
- историческая
волатильность (стандартное отклонение)
– это усредненная величина отклонения
эксперимента от среднего значения.
n – временной период.
Нормальное и логнормальное распределение.
Большинство процессов, происходящих в нашей жизни, подчинено закону нормального распределения (распределение уровня доходов населения, распределение температурных колебаний и т.д.).
Рассмотрим график плотности нормального распределения на примере распределения температурных значений:
Рисунок 2.2.1.
На данном рисунке представлено распределение температур при среднем значении 10 градусов и стандартном отклонении 3 градуса.
Из графика видно, что:
наибольшая вероятность появления у температур, находящихся около среднего значения.
значения, равноотстоящие от средней имеют одинаковую вероятность появления.
Процессы, подчиненные нормальному распределению, обладают важным свойством:
Табл. 2.2.1
-
Отклонение от средней величины
Попадание в диапазон
± 1 стандартное отклонение
68,3% всех наблюдений
± 2 стандартных отклонений
95,4% всех наблюдений
± 3 стандартных отклонений
99,7% всех наблюдений
Если применить это правило к нашему примеру, то
Табл. 2.2.2.
-
Диапазон
Попадание в диапазон
7-13 градусов
68,3% всех температурных наблюдений
4-16 градусов
95,4% всех температурных наблюдений
1-19 градусов
99,7% всех температурных наблюдений
Рассмотрим, какому закону подчиняется фондовый рынок.
В этом случае, средним значением является цена торгуемого актива, а за стандартное отклонение принимается волатильность данного актива.
Пример 2.2.1.:
RIZ8 = 60000 пунктов. Волатильность=150% за год (90000 пунктов).
Построим график плотности распределения в предположении, что поведение нашего фьючерсного контракта подчиняется закону нормального распределения.
Рисунок 2.2.2.
Из графика видно, что значение индекса может принимать отрицательные значения, что на самом деле не может произойти.
Мы брали волатильность в годовом исчислении. Найдем, на сколько может отклониться рынок за один месяц.
Т
огда
одномесячное отклонение составит:
60000*43,3/100=26000.
Т.е. через месяц котировка может быть либо 34000, либо 86000.
За следующий месяц рынок опять может сдвинуться на 43,3%,
34000*43,3/100=14700
Или
86000*43,3/100=37300
Получаем, что при падении рынка, его номинальные темпы движения уменьшаются, а при росте возрастают. Т.е. распределение у нас получается не симметричным. Если же предположить, что изменение цены, по заданной волатильности, происходит не раз в месяц, а постоянно, в бесконечно малый промежуток времени, то мы получим логнормальное распределение.
Логнормальное распределение - это распределение, в которой нормальное распределение имеет логарифм случайной величины.
Таким образом, график плотности распределения примет вид:
Рисунок 2.2.3.
Совместим два графика
Рисунок 2.2.4.
Получаем, что кривая логнормального распределения всегда положительна и скошена вправо, относительно нормального распределения.
Модель Блэка-Шоулса для расчета премии опционов. (Европейский опцион на бездивидендную акцию).
Модель была создана в 70-х годах, в 1997 году Шоулз получил нобелевскую премию.
Данный метод достаточно прост при самостоятельном написании опционного калькулятора, например в EXEL.
Где
N
(d)
– функция нормального распределения.
– премия опциона
CALL.
– премия опциона
PUT.
F – цена фьючерсного контракта.
S – страйк.
R – безрисковая процентная ставка.
Т – время до экспирации.
Σ – стандартное отклонение (волатильность).
Параметры ценообразования.
На стоимость опциона влияют следующие факторы:
Цена базового актива.
Страйк.
Волатильность.
Время до истечения.
Безрисковая процентная ставка – самый не динамичный параметр, сильно влияет только на долгосрочные опционы. Поэтому ее влиянием на опционы со сроком до трех месяцев можно пренебречь.
Построим таблицу, в которой укажем направление влияния каждого фактора на стоимость опциона:
Табл. 2.2.3.
Факторы снижаются |
Цена актива |
Волатильность |
Время |
CALL |
Снижается |
Снижается |
Снижается |
PUT |
Растет |
Снижается |
Снижается |
Факторы растут |
Цена актива |
Волатильность |
Время |
CALL |
Растет |
Растет |
|
PUT |
Снижается |
Растет |
|
При снижении стоимости базового актива, стоимость опционов CALL снижается, а опционов PUT растет. При снижении волатильности и истечении времени происходит снижение стоимости опционов. При снижении степени колебаний на рынке, трейдеры готовы продавать опционы дешевле, чем раньше. Это ведет к превышению предложения над спросом и приводит к удешевлению премии.
При истечении времени снижается вероятность того, что проданный опцион, за оставшийся промежуток времени, принесет убыток. Это ведет к снижению временной стоимости опциона.
Следует запомнить, что волатильность и время влияют только на временную стоимость, в то время как изменение цены базового актива влияет как на временную, так и на внутреннюю стоимость опциона.
Наиболее сильное влияние оказывает изменение цены базового актива.
Временная премия и временной распад.
Построим таблицу зависимости стоимости опциона от времени до экспирации при различной цене фьючерсного контракта.
Пример 2.2.2.
Купим CALL 70000 при волатильности 100% .
Табл. 2.2.4.
Дни\ RIH9 |
40000 |
50000 |
60000 |
70000 |
80000 |
90000 |
100000 |
90 дн |
1670 |
4290 |
8340 |
13730 |
20220 |
27600 |
35650 |
60 дн |
810 |
2700 |
6180 |
11250 |
17690 |
25200 |
33490 |
30 дн |
330 |
1570 |
4450 |
9200 |
15640 |
23370 |
31970 |
15 дн |
0 |
240 |
1690 |
5650 |
12320 |
20830 |
30270 |
7 дн |
0 |
20 |
600 |
3860 |
10920 |
20150 |
30020 |
Экспирация |
0 |
0 |
0 |
0 |
10000 |
20000 |
30000 |
Мы видим, что при приближении экспирации, наши опционы дешевеют и это происходит за счет уменьшения временной стоимости, в то время как внутренняя стоимость сохраняется.
Построим график.
Рисунок 2.2.5.
Рассмотрим поведение временных премий.
Табл. 2.2.5
Дни\ RIH9 |
40000 |
50000 |
60000 |
70000 |
80000 |
90000 |
100000 |
90 дн |
1670 |
4290 |
8340 |
13730 |
10220 |
7600 |
5650 |
60 дн |
810 |
2700 |
6180 |
11250 |
7690 |
5200 |
3490 |
30 дн |
330 |
1570 |
4450 |
9200 |
5640 |
3370 |
1970 |
15 дн |
0 |
240 |
1690 |
5650 |
2320 |
830 |
270 |
7 дн |
0 |
20 |
600 |
3860 |
920 |
150 |
20 |
0 дн |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
При приближении экспирации временные премии убывают и в момент экспирации равны нулю. Мы видим, что при приближении экспирации наша кривая становится все ближе к графику опциона на момент экспирации и в момент исполнения полностью соответствует этой кривой.
Рассмотрим, как происходит взаимное изменение внутренней и временной стоимости в предыдущем примере.
Рисунок 2.2.6
Из рисунка видно, при росте выше 70000, временная премия снижается, а внутренняя растет, при падении временная уменьшается, а внутренняя остается нулевой. С приближением времени временная стоимость уменьшается и в момент экспирации становится равной нулю.