Решение.

Для нахождения частоты, а затем и периода колебаний мы необходимо записать уравнение динамики движения стержня. Это будет уравнение динамики вращательного движения:

где I - момент инерции стержня относительно точки подвеса; φ - угловая координата; M_z - результирующий момент внешних сил.

На стержень действует момент силы тяжести, который при малых углах можно записать как -mg(l/2)φ .В этом выражении (l/2)φ есть "плечо" силы тяжести (она приложена в центре масс на расстоянии l/2 от точки подвеса).Знак

"-" показывает, что момент силы стремится уменьшить угол отклонения φ стержня. На стержень также действует момент упругой силы пружины, который запишется как -. В этом выражении hφ есть смещение конца пружины, а -khφ есть упругая сила (она также стремится уменьшить угол отклонения стержня), h - "плечо" этой силы. Далее запишем уравнение динамики, объединив слагаемые, содержащие величину φ.

Получили уравнение гармонических колебаний для переменной φ.

Отношение коэффициента при φ к коэффициенту при второй производной есть квадрат частоты колебаний. Запишем выражение для частоты ω, а затем для периода . Учтём при этом, что момент инерции стержня есть :

При проверке размерности достаточно вспомнить размерности выражений g/l и k/m . Оба выражения имеют размерность квадрата частоты:

После подстановки числовых значений получим для периода

3g/2l = 16/0,24; = 22,5/0,24;

T = 0,5 c.

1.4 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

В скобках в конце текста задачи приводится ответ.

Задача 1. Начальная скорость брошенного камня равна 10 м/с, а спустя время t = 0,5 с скорость стала равной 7 м/с. На какую высоту относительно начального уровня поднимется камень? (2,55 м).

Задача 2. На колесо, вращающееся с угловой скоростью ω₀ = 2 рад/с без трения вокруг своей оси симметрии, начал действовать постоянный момент сил, стремящийся вращать колесо в противоположном направлении. Через время

t = 5 c после начала действия этого момента сил колесо вращалось с той же угловой скоростью ω₀, но в противоположном направлении.

На какой угол φ в (радианах) повернулось колесо за это время? (0).

Задача 3. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъёма постоянна: v₀ = 1 м/с. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную составляющую скорости v_x = ay, где a - постоянная, равная

0,1 c^-1, y - высота над уровнем земли.

Найти величину сноса шара через t = 30 c после начала подъёма (45 м).

Задача 4. Зависимость от времени действующей на тело силы даётся уравнением F = A + Bt, где A = 1 Н , B = 0,4 Н/с. Масса тела m = 0,5 кг.

Где окажется тело спустя время t₁ = 5 с после начала движения? (41,3 м).

Задача 5. Невесомый блок укреплён на вершине наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом α =30°. Груз массой m₀ = 1,2 кг находится на плос

кости. К нему привязан один конец нити. На другом конце нити, перекинутой через блок, подвешен груз массой m = 1,6 кг. Грузы движутся с ускорением

a = 0,2 м/с.

Какое ускорение будет у первого груза после того, как нить оборвётся? .

Задача 6. Самолёт идёт на посадку, имея горизонтальную составляющую скорости v₀ = 42,5 м/с. В момент касания колёс о посадочную полосу возникает сила трения. Коэффициент трения изменяется с величиной пути самолёта по закону μ = rS, где r = 0,002 м^-1; S - путь самолёта по полосе.

Определить путь, пройденный самолётом до остановки. (301 м).

Задача 7. Лодка длиной l = 4 м и массой m₁ = 80 кг стоит на спокойной воде. Человек массой m₂ = 70 кг, первоначально сидящий на носу лодки, начинает идти и переходит на корму. Каково при этом будет смещение лодки S в случае пренебрежения сопротивлением воды? (1,87 м).

Задача 8. Груз массой m = 5 кг лежит на полосовой пружине пренебрежимо малой (по сравнению с грузом) массой. Прогиб пружины при этом x₁ = 8 см. Надавливая на груз, добиваются прогиба x₂ = 20 см и затем отпускают.

Какой скоростью будет обладать груз в тот момент, когда пружина окажется выпрямленной? (1 м/с).

Задача 9. На покоящийся шар налетает со скоростью v₁ = 2 м/с другой шар одинаковой с ним массой. В результате столкновения шар изменил направление движения на угол α = 30°.

Определить угол между вектором скорости второго шара и первоначальным направлением движения первого шара. (60 °).

Задача 10. Маховик радиусом R = 0,12 см и массой m = 2 кг имеет шкив радиуса r = 3 см. Нить, намотанную на шкив, тянут с силой F = 6 Н, и маховик вращается с угловым ускорением . Тот же маховик, раскрученный до некоторой угловой скорости ω₀ и предоставленный самому себе, останавливается через время t = 4 с.

Чему именно равна величина ω₀? (7 рад/с).

Задача 11. На вершине наклонной плоскости с углом α = 30° установлен невесомый блок. Одна сторона перекинутой через блок нити намотана на сплошной цилиндр, находящийся на плоскости. На другом конце нити висит груз массой m₁ = 200 г. Цилиндр, масса которого m₂ = 450 г, при своём движении наматывает нить и поднимает груз.

Каково ускорение груза? .

Задача 12. На сплошной цилиндр, находящийся на столе, намотана нить. Конец нити перекинут через блок на краю стола и соединён с висящим на ней грузом массой m₁ = 200 г. Масса цилиндра m₂ = 300 г.

Найти ускорение груза. .

Задача 13. Быстро вращающийся вокруг вертикальной оси диск радиусом