Решение.

Проекция скорости на направление нормали к стене есть v_x. При минимальной скорости бросания v₀ значение проекции скорости должно быть равно v_кр. В некоторый момент времени v_x = v_кр . (1) Запишем исходные кинематические уравнения для тела, движущегося с ускорением g:

Здесь α - угол с горизонтом, под которым был брошен комок.

Из формул (1) и () следует

v₀cosα = v_кр . (4)

П

Рис. 12

ри том же значении α высота подъёма в точке x = L есть решение уравнений (2^|) и (3^|), в которых принимается x = L, y = h:

Исключая t, получим соотношение

(5)

Вспоминая, что угол α определяется условием (4), получим из (5) и (4)

(6)

Из соотношения (6) находим выражение для v₀:

При подстановке данных получим v₀ = 11,65 м/с.

Пример 4. Невесомый брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути по закону μ = ax , где a = 0,2 м^-1. Какая максимальная скорость достигалась бруском?

Решение.

При решении этой задачи удобно скорость бруска v рассматривать как функцию координаты x, направленной вниз вдоль плоскости. Тогда ускорение бруска можно записать как

Силы, действующие на брусок: это скатывающая сила mgsinα и сила трения --mg(cosα)μ = - mg(cosα)ax..

Запишем уравнение динамики:

(1)

Помножив уравнение на dx/m и взяв неопределённые интегралы от обеих частей равенства, получим

(2)

Константу определяем таким образом, чтобы при x = 0 получалось v = 0. То есть константа должна быть равна нулю. Чтобы найти максимальную скорость, необходимо рассмотреть условие максимума

(3)

Подставляя (2) в (3), получим

откуда находим .

Подставляя эту величину x снова в выражение (2), получим для максимальной скорости бруска

Расчёт даёт v_max = 3,82 м/с.

Пример 5. Тело некоторой массы m падает с высоты

h = 200 м. На тело действует сила сопротивления, зависящая от скорости по формуле , где k = 0,004 м^-1, v - скорость.

Какая скорость будет достигнута телом спустя время ?

Решение.

Так как одна из сил (F_r) дана как функция скорости, то в уравнении динамики ускорение лучше записать как . Считая направление движения вниз положительным, запишем уравнение динамики

Переписав уравнение в виде

где , мы получим соотношение между дифференциалами. Левая часть соотношения представляет собой дифференциал выражения

.

Перейдя от соотношения между дифференциалами к соотношению между самими величинами, запишем

.

Подбираем константу такой, чтобы при t=0 получалось v = 0 (тело только начинает набирать скорость). Видим, что const = 0 .Окончательно для функции v(t) получим

.

При подстановке данных получаем: = 50 м; ; v = 42,7 м/с. В отсутствии силы сопротивления скорость была бы равна (2gh)^1/2 = 63,2 м /с.

Пример 6 . На носу покоящейся лодки длиной l= 4 м стоит человек, держа на высоте h = 1,6 м ядро массой m₁ = 2 кг. Человек бросает горизонтально ядро вдоль лодки. Какую скорость по горизонтали должен сообщить ядру человек, чтобы ядро упало рядом с кормой лодки? Масса человека с лодкой

m₂ = 100 кг.