2. Побудова моделей вхід-вихід.

Модель вхід-вихід системи управління будується за відомими рівняннями окремих компонентів (блоків, ланок). Процес зводиться до перетворення системи диференціальних рівнянь, які описують поведінку окремих блоків, до єдиного рівняння системи типу (1), (3) чи (8). За цих умов поза залежністю від початкового опису найбільш зручною для здійснення таких перетворень є операторна форма (8), яка після закінчення процедури може бути приведена до типу (1) чи (3).

Розглянемо послідовне з’єднання блоків, рис. 18, тобто систему яка описується операторними рівняннями:

(33)

(34)

де, відповідно, вихідний, а вхідний сигнали системи.

Рис. 18. Схема послідовного з’єднання блоків

Необхідно знайти єдиний опис системи (33)-(34), тобто рівняння зв’язку сигналів . Підставивши (33) у (34), отримаємо

(35)

Тобто система описується рівнянням

(36)

де - передатна функція системи послідовно з’єднаних блоків.

Приклад. Розглянемо послідовне з’єднання аперіодичної ланки з одиничним коефіцієнтом передачі, та ідеальної диференціюючої ланки, рис. 19.

Рис. 19. Схема послідовного з’єднання аперіодичної ланки та ідеальної диференціюючої ланки

Застосування розглянутого вище правила дає наступну передатну функцію яка співпадає з передатною функцією реальної диференціюючої ланки.

Розглянемо паралельне з’єднання тих же блоків, рис 20, тобто систему, яка описується рівняннями

(37)

(38)

(39)

де вихідний, а - вхідний сигнал системи. Після відповідних підстановок знаходимо зв’язок виходу та входу:

(40)

або

(41)

Рис. 20. Схема паралельного з’єднання блоків

де передатна функція паралельного з’єднання блоків.

Приклад. Розглянемо ізодром – паралельне з’єднання пропорційної та інтегруючої ланок, чи ПІ – регулятор. Використовуючи отримане вище правило, знаходимо передатну функцію ланки:

(42)

Рис. 21. Схема паралельного з’єднання пропорційної та інтегруючої ланок

Розглянемо систему, складену з двох блоків, один з яких підключений до другого у вигляді зворотного зв’язку, рис. 22, тобто

(43)

(44) (45)

де вихідний, а вхідний сигнал системи. Після елементарних перетворень матимемо

(46)

Рис. 22. Підключення до зворотного зв’язку

Тобто система описується рівнянням типу (46) і має передатну функцію

(47)

Передатні функції систем управління. Розглянемо систему управління без зворотного зв’язку – розімкнену систему, яка складається з послідовно з’єднаних регулятора та об’єкту управління, рис. 23).

Рис. 23. Розімкнена система

Нехай об’єкт управління описується операторним рівнянням

(48)

а регулятор представлений виразом

(49)

де вихідна змінна, керуюча дія, задаюча дія (вхід системи), передатні функції – інтегро-диференціальні оператори. Використовуючи правило побудови моделі послідовно з’єднаних блоків, знаходимо рівняння

(50)

Яке пов’язує вихідну змінну та вхідну змінну через передатну функцію розімкненої системи

(51)

Цю передатну функцію можна записати у вигляді

(52)

де - диференціальні оператори відповідних ступенів. Тоді рівняння (50) можна привести до вигляду

(53)

а, за необхідності, переписати у стандартній формі (1).

Розглянемо замкнену систему управління, рис. 24, тобто систему представлену об’єктом управління (48) та регулятором відхилення:

(54)

(55)

де - розузгодження (відхилення). Використовуючи правило (51), знаходимо модель замкненої системи у вигляді

(56)

Рис. 24. Замкнута система

де - передатна функція замкнутої системи, яка визначається за формулою

(57)

Враховуючи (51) можна отримати

(58)

Порівняння останнього виразу з (47) свідчить, що замкнуті системи приводять до зміни знаменника її передатної функції – характеристичного поліному системи, тобто коренів поліному (полюсів системи).

Лекція -5. Поняття простору станів та моделі типу стан-вихід. Моделі керованих систем.