Управляемая самостоятельная работа 4. Интервальные оценки среднего квадратичного отклонения нормально распределенной генеральной совокупности.

Теоретические материалы по теме см. в:

Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.

Стр. 242-246.

Обозначения в УСР 4.

Совокупность	Объём	Среднее	Дисперсия	Исправленное среднее квадратичное отклонение
генеральная				-
выборочная

Интервал , в который оцениваемый параметр попадает с заданной вероятностью , называется доверительным, а ‑ доверительной вероятностью (надёжностью) оцениваемого параметра :

.

Число называется уровнем значимости. В практических задачах обычно принимают ; 0,5; 0,001. Если , то из 100 значений оцениваемого параметра будут находиться внутри интервала .

Интервальные оценки среднего квадратичного отклонения нормально распределённой генеральной совокупности определяются по формулам:

в случае ,

в случае ,

где ‑ исправленное среднее квадратичное отклонение, а параметр находится из приложения 9.

При больших объёмах выборки и принимаются равными.

1) Стр. 246. Пример 5. Произведено 12 измерений некоторой величины одним прибором без систематической ошибки, причём исправленное среднее квадратичное отклонение случайных ошибок измерений оказалось равным 0,5. Найти точность прибора с надёжностью , если результаты ошибок измерений распределены нормально.

Р е ш е н и е. Точностью прибора обычно называют среднее квадратичное его ошибок измерения.

Из приложения 9 находим . Значит, доверительный интервал

. ■

О т в е т. .

2) Стр. 248. Пример 9, а). По данным выборки объёмом , извлечённой из распределённой нормально генеральной совокупности, найдено исправленное среднее квадратичное отклонение . Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратичное отклонение с надёжностью .

О т в е т. .

3) Стр. 248. Пример 9, б). По данным выборки объёмом , извлечённой из распределённой нормально генеральной совокупности, найдено исправленное среднее квадратичное отклонение . Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратичное отклонение с надёжностью .

О т в е т. .

Управляемая самостоятельная работа 5. Регрессионный анализ.

Теоретические материалы по теме см. в:

Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.

Стр. 249-255.

1) Нужно представить с помощью регрессионной прямой зависимость торгового оборота предприятия от уровня расходов на рекламу по наблюдениям за 8 лет.

Годы	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
, тыс. €	4	4	5	6	8	8	10	11
, млн. €	4	5	6	6	8	10	12	13

2) В таблице приведены данные о производительности труда и уровне механизации работ для 14 промышленных предприятий региона.

№ предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
, %	32	30	36	40	41	47	56	54	60	55	61	67	69	76
, т/ч	20	24	28	30	31	33	34	37	38	40	41	43	45	48

Требуется представить с помощью регрессионной прямой зависимость производительности труда от уровня механизации работ .

3) Исследовать зависимость себестоимости единицы продукции от объёма произведенной продукции по данным 16 предприятий.

, 1000 шт.	1	2	3	4	5	6	7	8
, тыс. €	7	5	4	5	8	10	12	16
Количество предприятий	1	1	2	3	1	1	2	5

Задания для самостоятельного выполнения (экзаменационные задания):

4) По методу наименьших квадратов найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х, если результаты наблюдений даны в следующей таблице:

X	1	2	3	4	5
Y	3,2	4,2	2,7	0,7	1,5

5) Упругость (Х) и процентное содержание никеля (Y) в восьми образцах сплавов стали даны в следующей таблице:

X	36	41	42	43	44	45	47	50
Y	2,5	2,7	2,8	2,9	3,0	3,2	3,3	3,5

По методу наименьших квадратов найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х.

6) Имеются следующие результаты тестирования (в баллах) 10 студентов. Первый тест проверяет память (Х), второй – способности к логическому мышлению (Y):

X	5	8	7	10	4	7	9	6	8	6
Y	7	9	6	9	6	7	10	7	6	8

По методу наименьших квадратов найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х.