Управляемая самостоятельная работа 3. Неравенство п. Л. Чебышёва.

Теоретические материалы по теме см. в:

Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.

Стр. 219-220.

Пусть ‑ случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением . Тогда для любого вероятность того, что принимает значения, отличающиеся от больше ( ) чем на , меньше ( ) , т.е.

.

Отсюда при получаем

.

3.1. Неравенство П. Л. Чебышёва. Каково бы ни было для любой случайной величины , дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышёва

.

1) Электростанция обслуживает сеть из 18000 ламп, вероятность включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Какова вероятность того, что число ламп, включённых в сеть зимним вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 200?

Р е ш е н и е. Согласно условию дискретная случайная величина ‑ число включённых ламп – распределена по биномиальному закону. Тогда математическое ожидание , а дисперсия . В силу неравенства Чебышёва искомая вероятность

. ■

О т в е т. .

2) Дискретная случайная величина , задана следующей таблицей вероятностей (следующим рядом распределения):

Х	1	2	3	4	5	6
Р	0,05	0,10	0,25	0,30	0,20	0,10

Чему равна вероятность того, что ? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышёва.

Р е ш е н и е. Шаг 1. По определению математическое ожидание

.

Шаг 2. По теореме дисперсия

.

Шаг 3. Неравенству

удовлетворяют следующие значения случайной величины : 2, 3, 4 и 5. Тогда искомая вероятность

.

Искомая вероятность также может быть найдена путём перехода к противоположному событию

.

Шаг 4. Согласно неравенству Чебышёва

.

О т в е т. Вероятность . Согласно неравенству Чебышёва оценка снизу этой вероятности .

2’) Дискретная случайная величина , задана следующей таблицей вероятностей (следующим рядом распределения):

Х	-1	0	2	4	6
Р	0,2	0,4	0,3	0,05	0,05

Чему равна вероятность того, что ? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышёва.

Р е ш е н и е. Шаг 1. По определению математическое ожидание

.

Шаг 2. По теореме дисперсия

.

Шаг 3. Неравенству

удовлетворяют следующие значения случайной величины : -1, 0, 2 и 4. Тогда искомая вероятность

.

Искомая вероятность также может быть найдена путём перехода к противоположному событию

.

Шаг 4. Согласно неравенству Чебышёва

.

О т в е т. Вероятность . Согласно неравенству Чебышёва оценка снизу этой вероятности .

3) Средняя длина детали 50 см, а дисперсия 0,1. Пользуясь неравенством Чебышёва, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.

Р е ш е н и е. Пусть - длина случайно взятой детали. Из условия задачи следует, что математическое ожидание , а дисперсия . Требуется оценить снизу вероятность . Так как неравенство

,

то необходимо оценить снизу вероятность . Согласно неравенству Чебышёва

.

О т в е т. .

3.2. Теорема П. Л Чебышёва. Пусть - последовательность независимых случайных величин, имеющих дисперсии, которые ограничены одной и той же постоянной . Тогда, каково бы ни было постоянное положительное число , имеет место обобщённое неравенство Чебышёва

.

4) Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения во всей партии по абсолютной величине меньше чем на 5 ч, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 ч.

Р е ш е н и е. Пусть дискретная случайная величина - продолжительность горения электролампы, взятой из -го ящика. В задаче дано, что дисперсия . Очевидно, что средняя продолжительность горения ламп в выборке

,

а средняя продолжительность горения ламп во всей партии

.

В задаче требуется оценить снизу вероятность

.

Так как - независимые случайные величины, то эта вероятность оценивается снизу правой частью обобщённого неравенства Чебышёва, где следует положить , , .

Итак, искомая вероятность

. ■

О т в е т. .

5) Сколько раз нужно измерить данную величину, истинное значение которой равно , чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое значение этих измерений отличается от по абсолютной величине меньше чем на 2, если среднее квадратичное отклонение каждого из измерений меньше 10?

Р е ш е н и е. Пусть дискретная случайная величина ‑ результат -го измерения. В задаче дано, что математическое ожидание , а дисперсия . Поэтому

.

Требуется найти такое , при котором

.

Согласно обобщённому неравенству Чебышёва

,

где следует положить , . Тогда требуемое неравенство во всяком случае будет выполняться, если:

. ■

О т в е т. .

6) Выяснить, применимо ли обобщённое неравенство Чебышёва к последовательности независимых случайных величин , если имеет следующее распределение:

	-5n	0	5n

Р е ш е н и е. Обобщённое неравенство Чебышёва применимо к последовательности независимых случайных величин , если существует такая постоянная , что дисперсия для любого . Проверим это.

Математическое ожидание

.

По теореме дисперсия

.

О т в е т. К последовательности независимых случайных величин применимо обобщённое неравенство Чебышёва, ибо .