20

УПРАВЛЯЕМАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

в 4 семестре 2015/2016 учебного года в группах ИСТ-21 и ИСТ-22.

Управляемая самостоятельная работа 1. Комбинаторные методы для нахождения вероятностей событий.

Теоретические материалы по теме см. в:

Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.

Стр. 125, 127–128.

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами.

Конечное множество из элементов называется кратко –множеством.

Определение 1. Упорядоченной ‑выборкой из данного ‑множества называется любое упорядоченное ‑множество

элементов , не обязательно различных. Число появлений одного и того же элемента в упорядоченной выборке называется кратностью этого элемента. Две упорядоченные выборки

и

называются равными, если

.

Если каждый элемент в упорядоченной ‑выборке имеет кратность , то она называется размещением без повторений из элементов по . Общее число всех таких размещений обозначается (здесь обязательно ). Если хотя бы один элемент в упорядоченной ‑выборке имеет кратность , то она называется размещением с повторениями из элементов по . Общее число всех таких размещений обозначается (здесь может быть ). ■

Обозначение от слова arrangement (фр.), которое переводится как размещение, приведение в порядок.

Теорема 1. .

Теорема 2. .

Определение 2. Размещение без повторений из элементов по называется перестановкой без повторений из элементов. Общее число всех таких перестановок обозначается . ■

Обозначение от слова permutation (фр.), которое переводится как перестановка, перемещение.

.

Теорема 3. Перестановки с повторениями: .

Определение 3. Неупорядоченной ‑выборкой из данного ‑множества называется любое неупорядоченное ‑множество

элементов , не обязательно различных. Число появлений одного и того же элемента в неупорядоченной выборке называется кратностью этого элемента. Две неупорядоченные выборки

и

называются равными, если каждая из них состоит из одних и тех же элементов одной и той же кратности. Если каждый элемент в неупорядоченной ‑выборке имеет кратность , то она называется сочетанием без повторений из элементов по . Общее число всех таких сочетаний обозначается (здесь обязательно ). Если хотя бы один элемент в неупорядоченной ‑выборке имеет кратность , то она называется сочетанием с повторениями из элементов по . Общее число всех таких сочетаний обозначается (здесь может быть ). ■

Обозначение от слова combinaison (фр.), которое переводится как сочетание, комбинация.

Теорема 4. .

Теорема 5. .

Схема рассуждений при решении задач по теме «Комбинаторные методы для нахождения вероятностей событий».

Упорядоченная Неупорядоченная

-выборка из -множества

без повторений. с повторениями.

1) Из урны, содержащей перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: 1, 2, …,  .

Р е ш е н и е. Упорядоченная –выборка из –множества без повторений.

Размещение без повторений из элементов по .

Перестановка без повторений из элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

2) Из урны, содержащей перенумерованных шаров, наугад вынимают один шар и записывают его номер. Каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими. Процесс вынимания повторяется раз. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2, …,  .

Р е ш е н и е. Упорядоченная –выборка из –множества с повторениями.

Размещение с повторениями из элементов по .

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

3) Из четырёх букв разрезной азбуки составлено слово «МАТЬ». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «МАТЬ».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 4–выборка из 4–множества без повторений.

Размещение без повторений из 4 элементов по 4.

Перестановка без повторений из 4 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

3’) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «ИГОРЬ». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «ИГОРЬ».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества без повторений.

Размещение без повторений из 5 элементов по 5.

Перестановка без повторений из 5 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

4) Из четырёх букв разрезной азбуки составлено слово «МАМА». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «МАМА».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 4–выборка из 4–множества с повторениями.

Размещение с повторениями из 4 элементов по 4, в котором для каждого элемента указывается число его повторений: «М» - 2; «А» - 2.

Перестановка с повторениями.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

4’) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «НАИНА». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «НАИНА».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества с повторениями.

Размещение с повторениями из 5 элементов по 5, в котором для каждого элемента указывается число его повторений: «Н» - 2; «А» - 2; «И» - 1.

Перестановка с повторениями.

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

4’’) Из шести букв разрезной азбуки составлено слово «БАОБАБ». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «БАОБАБ».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 6–выборка из 6–множества с повторениями.

Размещение с повторениями из 6 элементов по 6, в котором для каждого элемента указывается число его повторений: «Б» - 3; «А» - 2; «О» - 1.

Перестановка с повторениями.

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

5.1) В танцевальном баре восемь студенток и десять студентов. Объявлено: «Дамы приглашают кавалеров». Студентки выбирают себе партнёров последовательно, случайным образом, при условии, что никакие две студентки танцевать с одним студентом не могут. Найти вероятность того, что будут приглашены первые восемь студентов согласно алфавитному списку.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 8–выборка из 10–множества без повторений.

Размещение без повторений из 10 элементов по 8.

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие .

Упорядоченная 8–выборка из 8–множества без повторений.

Размещение без повторений из 8 элементов по 8.

Перестановка без повторений из 8 элементов.

Число благоприятных элементарных событий

.

Искомая вероятность . ■

5.2) В танцевальном баре девять студенток и одиннадцать студентов. Объявлено: «Дамы приглашают кавалеров». Студентки выбирают себе партнёров последовательно, случайным образом, при условии, что никакие две студентки танцевать с одним студентом не могут. Найти вероятность того, что будут приглашены первые девять студентов согласно алфавитному списку.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 9–выборка из 11–множества без повторений.

Размещение без повторений из 11 элементов по 9.

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие .

Упорядоченная 9–выборка из 9–множества без повторений.

Размещение без повторений из 9 элементов по 9.

Перестановка без повторений из 9 элементов.

Число благоприятных элементарных событий

.

Искомая вероятность . ■

5.3) В танцевальном баре десять студенток и двенадцать студентов. Объявлено: «Дамы приглашают кавалеров». Студентки выбирают себе партнёров последовательно, случайным образом, при условии, что никакие две студентки танцевать с одним студентом не могут. Найти вероятность того, что будут приглашены первые десять студентов согласно алфавитному списку.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 10–выборка из 12–множества без повторений.

Размещение без повторений из 12 элементов по 10.

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие .

Упорядоченная 10–выборка из 10–множества без повторений.

Размещение без повторений из 10 элементов по 10.

Перестановка без повторений из 10 элементов.

Число благоприятных элементарных событий

.

Искомая вероятность . ■

6) Батарея, состоящая из орудий, ведёт огонь по группе, состоящей из самолётов ( ). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все орудий будут стрелять по разным целям.

Р е ш е н и е. Упорядоченная –выборка из –множества с повторениями.

Размещение с повторениями из элементов по .

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие .

Упорядоченная –выборка из –множества без повторений.

Размещение без повторений из элементов по .

Число благоприятных элементарных событий

.

Искомая вероятность .■

7.1) Пять человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества без повторений.

Размещение без повторений из 5 элементов по 5.

Перестановка без повторений из 5 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

7.2) Шесть человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 6–выборка из 6–множества без повторений.

Размещение без повторений из 6 элементов по 6.

Перестановка без повторений из 6 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

8.1) Четыре человека рассаживаются случайно вдоль одной из сторон прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 4–выборка из 4–множества без повторений.

Размещение без повторений из 4 элементов по 4.

Перестановка без повторений из 4 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

8.2) Пять человек рассаживаются случайно вдоль одной из сторон прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества без повторений.

Размещение без повторений из 5 элементов по 5.

Перестановка без повторений из 5 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий

.

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

9) В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 2–выборка из 8–множества без повторений.

Сочетание без повторений из 8 элементов по 2.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие .

Неупорядоченная 2–выборка из 3–множества без повторений.

Сочетание без повторений из 3 элементов по 2.

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

10) В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут белыми, а три ‑ чёрными.

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 5–выборка из 8–множества без повторений.

Сочетание без повторений из 8 элементов по 5.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

11) В партии, состоящей из изделий, имеется дефектных. Из партии выбирается для контроля изделий. Найти вероятность того, что из них ровно изделий будут дефектными.

	Дефектных изделий	Недефектных изделий
-партия		-
-выборка		-

Р е ш е н и е. Неупорядоченная –выборка из –множества без повторений.

Сочетание без повторений из элементов по .

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

12) В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Какое событие более вероятно:

‑ шары одного цвета;

‑ шары разных цветов?

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 2–выборка из 8–множества без повторений.

Сочетание без повторений из 8 элементов по 2.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность .

Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность . ■

О т в е т. .

13) В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют восемнадцать команд, из которых случайным образом формируются две группы по девять команд в каждой. Среди участников соревнований имеется пять команд экстракласса. Найти вероятности следующих событий:

‑ все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу;

‑ две команды экстракласса попадут в одну из групп, а три ‑ в другую.

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 9–выборка из 18–множества без повторений.

Сочетание без повторений из 18 элементов по 9.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность .

Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность . ■

14) Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимается сразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть, чтобы с вероятностью, большей чем 0,50, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

Р е ш е н и е. Обозначим наличие среди вынутых карт не менее двух одной масти.

При число всех равновозможных элементарных событий . Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность .

При число всех равновозможных элементарных событий . Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность . ■

О т в е т. Нужно вынуть карт.

Контроль уср 1 «Комбинаторные методы для нахождения вероятностей событий» (задания из экзаменационных билетов).

Вариант 1. ИСТ-21: Колдушко С. Д, Кондратович Ю. И., Коновальчик В. Е. ИСТ-22: Аллаберенов А. А., Володько В. Л.

Четыре лица случайным образом выбираются из группы, состоящей из 4 русских, 3 украинцев и 2 белорусов. Применяя комбинаторику найти вероятность того, что в выбранной четвёрке точно 1 человек будет русским.

Вариант 2. ИСТ-21: Макаренко И. А., Малентович К. А., Минько И. Н. ИСТ-22: Говор А. А., Дорошенко А. В.

Четыре лица случайным образом выбираются из группы, состоящей из 4 русских, 3 украинцев и 2 белорусов. Применяя комбинаторику найти вероятность того, что в выбранной четвёрке точно 3 человека будут русскими.

Вариант 3. ИСТ-21: Пятигор А. Л., Рак А. А., Тихонов С. А. ИСТ-22: Жуков Р. С., Илистинов В. И.

Четыре лица случайным образом выбираются из группы, состоящей из 4 русских, 3 украинцев и 2 белорусов. Применяя комбинаторику найти вероятность того, что в выбранной четвёрке будут 3 украинца.

Вариант 4. ИСТ-21: Усенко И. В., Хмелевский В. В., Шумский Я. Д., Яхонт В. И. ИСТ-22: Мезяк А. И., Попченя Р. С.

Четыре лица случайным образом выбираются из группы, состоящей из 4 русских, 3 украинцев и 2 белорусов. Применяя комбинаторику найти вероятность того, что в выбранной четвёрке точно 1 человек будет белорусом.

Управляемая самостоятельная работа 2. Безусловные и условные вероятности событий. Зависимые и независимые события.

Теоретические материалы по теме см. в:

Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.

Стр. 127, 134.

Пусть пространство элементарных событий, соответствующих данному испытанию, состоит из равновозможных элементарных событий. В этом случае (безусловной) вероятностью события называется отношение числа элементарных событий, благоприятных для , к числу всех элементарных событий:

.

Обозначение (рублёный шрифт) от слов probabitité (фр.) и probability (англ.), которые переводятся как вероятность.

Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события и обозначается или .

Аналогично определяется условная вероятность события ; обозначения или .

Пример. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, если известно, что эта сумма есть чётное число.

Р е ш е н и е. Пространство элементарных событий

2-я 1-я	1	2	3	4	5	6
1	1+1	1+2	1+3	1+4	1+5	1+6
2	2+1	2+2	2+3	2+4	2+5	2+6
3	3+1	3+2	3+3	3+4	3+5	3+6
4	4+1	4+2	4+3	4+4	4+5	4+6
5	5+1	5+2	5+3	5+4	5+5	5+6
6	6+1	6+2	6+3	6+4	6+5	6+6

Событие ={сумма выпавших очков равна 8}.

Событие ={сумма выпавших очков чётная}.

. ■

Безусловная же вероятность события : .

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Пример. (Предыдущий.)

2-я 1-я	1…6
1 … 6

Р е ш е н и е. Событие зависит от события . ■

Условие независимости события от события можно записать в виде

,

а условие зависимости — в виде

.

Зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим можно дать следующее новое определение независимых событий.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появление другого.

Контроль УСР 2 «Безусловные и условные вероятности событий. Зависимые и независимые события» (задания из экзаменационных билетов).

Вариант 1. ИСТ-21: Колдушко С. Д, Кондратович Ю. И., Коновальчик В. Е. ИСТ-22: Аллаберенов А. А., Володько В. Л.

Последовательно бросаются две монеты. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:

А – выпадение герба на первой монете;

F – выпадение герба на второй монете.

Зависимы или независимы эти события?

Вариант 2. ИСТ-21: Макаренко И. А., Малентович К. А., Минько И. Н. ИСТ-22: Говор А. А., Дорошенко А. В.

Из полной колоды карт (413=52 листа) вынимается одна карта. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:

В – появление карты красной масти;

С – появление бубнового туза.

Зависимы или независимы эти события?

Вариант 3. ИСТ-21: Пятигор А. Л., Рак А. А., Тихонов С. А. ИСТ-22: Жуков Р. С., Илистинов В. И.

Последовательно бросаются две монеты. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:

D – выпадение хотя бы одного герба;

F – выпадение герба на второй монете.

Зависимы или независимы эти события?

Вариант 4. ИСТ-21: Усенко И. В., Хмелевский В. В., Шумский Я. Д., Яхонт В. И. ИСТ-22: Мезяк А. И., Попченя Р. С.

Из неполной колоды карт (49=36 листов) вынимается одна карта. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:

А – появление туза;

С – появление бубнового туза.

Зависимы или независимы эти события?