Переход к трехмерной псевдоматрице поля Ex
Представим комплексное число как z=A(ω)exp(iφ), где A(ω)-измеренный амплитудный спектр в трех частотных точках в виде ρ(ω). Тем самым переходим в пространство Гильберта.
1 шаг. Составили пятиэлементную матрицу-массив, в координатах XYF или M(i,j,k)=M(1:1:1040,1:1:5,1:1:3).
К выбору интерполянтой функции. Функция-интерполянт должен быть аналитическая в правой полуплоскости, суммируемая по прямым, параллельным мнимой оси, ограниченная и равномерно непрерывная на мнимой оси. Норма функции - ограниченная и убывающая функция (Макагонов П.П. 1966).
Исследуем амплитудный спектр на предмет аналитичности, то есть проверяем его на разложение в ряд Тейлора. Если спектр разлагается в ряд, смотрим сколько нулей имеется в верхней полуплоскости для назначения вида интерполирующей функции
2 шаг. Провели гриддирование и узловую интерполяцию в трехмерной псевдоматрице. Линейка частот [4,88: ∆f: F≤1/2t0=1/2πf].
3 шаг. Провели частотный срез в любом нужном сечении координат XF или YF.
4 шаг. Рассчитали фазовый спектр. Амплитудный спектр равен действительному изображению ρэфф.
Фазовый спектр (фазовая задержка) рассчитаем методами корреляционного анализа с учетом мнимой части волнового числа
5 шаг. Коэффициенты ряда Фурье- комплексные величины, их модуль и аргумент= амплитудный и фазовый спектр. Сохранили изображения спектров.
6 шаг. Применили обратное преобразование Фурье к заданному частотному срезу и перешли от частотной к временной оси. Поскольку действительная часть волнового числа отвечает за фазовую скорость в среде
V=с/ временную линейку в нанносекундах переводим в линейку глубин.
Знание о относительной диэлектрической проницаемости (εа/ε0) привносим извне, например, из георадарных измерениях. Скорость электромагнитной волны в воздухе c~ 30 м/нсек.
Рисунок 7. Определение относительной диэлектрической проницаемости по дифрагированным волнам на частоте 90 мГц. εср=4-5
Часть 2. Интерпретационная
Abstract
В условиях мощного изолятора ВЧР, из-за невозможности запустить ток в нижнее полупространство, классические методы сопротивлений не работают. Альтернатива есть - переход на индуктивные и частотные модификации электроразведки. Из индуктивных, наиболее апробитрован ЗСБ, только при изучении инженерных глубин (0-25 м) надо антенны поднимать в воздух (авиабазирование спасает изучение ВЧР от зоны тени, Дмитриев Ю.Ю.). Наземное ЧЗ, судя по сообщениям 2013-2015 гг, так и не вышло из стадии опытно-методических работ.
Мною развивалась комбинация аналога ЧЗ+ДЗ под наименованием БИЭП СГ+ЧЗ. Модификация апробирована за Полярным кругом на пяти обьектах: в республике Саха (Якутия) и на площадках УКПГ за Новым Уренгоем.
Первые опыты позволяют обобщить некоторые положительные результаты.
Введение в математический анализ предмета.
Традиционные электродинамические задачи, исходящие из бесконечного набора решений телеграфного уравнения в виде интегральных представлений, приводят в математическом смысле к комплексным коэффициентам разложений измеренное поле в ряды, с удержанием членов, пропорциональных- 1/R, 1/R2, 1/R3, вплоть до пятой степени. Например, удобно волновое поле разложить в ряд Тейлора.
В теории токовой линии конечной длины
(поле осциллятора), компоненты
электромагнитного поля над однородным
полупространством аппроксимируются
разложением eikr
по малому параметру kr:
,
что приводит к спектральным выражениям
для компонент Eх в
виде интеграла Зоммерфельда или Фока.
В теории комплексных переменных есть ряд функций, называемых аналитическими. Условиям аналитичности соответствует функциональное пространство Гильберта и можно представить данные в комплексной плоскости, где полюсы, существенно особые точки и точки ветвления физически связаны с геологическими границами и поверхностями геологических тел.
В окрестностях полюсов и особых точек аналитические функции, и ряд Тэйлора однозначны, поэтому они представляют разведочный (физический) интерес. Ряд Лорана позволяет произвести классификацию особенностей нерегулярных точек. В окрестностях точки ветвления функцию нельзя разложить в указанные ряды или она является многозначной.
Условия Коши-Римана, устанавливающее связь между действительно и мнимой частями аналитической функции, приводят к известным спектральным соотношениям, помогают найти фазовый спектр по его амплитудному, поскольку нами измеряется амплитудный спектр электромагнитного поля на нескольких опорных частотах.
Важно оценить две интерполянтные функции F(ω) и ln F(ω) с точки зрения аналитичности, не имеющие нулей в верхней полуплоскости Imω›0 и удовлетворяющая лемме Жордана. Для первой функции-интерполянта нужна проверка на нуль в верхней полуплоскости и если он единственный, то переходим к применению функции F(ω)=F0(ω) . Если ноль не единственный, то применяем модифицированную функцию F(ω)=F0(ω)∏ (Кауфман А.А., 2007 г). Другими словами, проверяем наличие границ через фазовые портреты поля или странные аттракторы.