6. Веса результатов неравноточных измерений

При неравноточных измерениях, когда результаты каждого измерения нельзя считать одинаково надежными, уже нельзя обойтись определением простого арифметического среднего. В таких случаях учитывают достоинство (или надежность) каждого результата измерений.

Достоинство результатов измерений выражают некоторым числом, называемым весом этого измерения. Очевидно, что арифметическое среднее будет иметь больший вес по сравнению с единичным измерением, а измерения, выполненные при использовании более совершенного и точного прибора, будут иметь большую степень доверия, чем те же измерения, выполненные прибором менее точным.

Поскольку условия измерений определяют различную величину средней квадратической погрешности, то последнюю и принято принимать в качестве основы оценки весовых значений проводимых измерений. При этом веса результатов измерений принимают обратно пропорциональными квадратам соответствующих им средних квадратических погрешностей. Так, если обозначить через р и Р веса измерений, имеющие средние квадратические погрешности соответственно т и М, то можно записать соотношение пропорциональности:

. (18)

Например, если М средняя квадратическая погрешность арифметического среднего, а m — соответственно, одного измерения, то, как следует из (17), можно записать:

,

т. е. вес арифметического среднего в n раз больше веса единичного измерения.

Аналогичным образом можно установить, что вес углового измерения, выполненного 15-секундным теодолитом, в четыре раза выше веса углового измерения, выполненного 30-секундным прибором.

При практических вычислениях обычно вес одной какой-либо величины принимают за единицу и при этом условии вычисляют веса остальных измерений. Так, в последнем примере если принять вес результата углового измерения 30-секундным теодолитом за р = 1, то весовое значение результата измерения 15-секундным теодолитом составит Р = 4.

7. Общее арифметическое среднее и его средняя квадратическая погрешность

Общее арифметическое среднее для неравноточных измерений может быть определено по выражению:

(19)

Это выражение для определения значения измеренной величины, полученное из неравноточных измерений по весам, называют весовым средним или общим арифметическим средним.

Таким образом, общее арифметическое среднее неравноточных измерений равно сумме произведений каждого измерения на его вес, разделенной на сумму весов.

Из формулы (19) легко установить, что при р₁ =p₂ = ... = р_n т. е. когда измерения равноточные, последняя превращается в простое арифметическое среднее (3).

При сравнении между собой рядов неравноточных измерений для каждого ряда определяют среднюю квадратическую погрешность измерения, вес которого приводят к единице µ:

,

откуда

µ=√p (20)

Если l₁> l₂>,...,> l_n, — результаты неравноточных измерений какой-либо величины с весами, соответственно — р₁, р₂,...,р_n погрешностями ∆₁,∆₂,…,∆_n, то из формулы (20) следует, что средняя квадратическая погрешность единицы веса в √р раз больше средней квадратической погрешности измерения, вес которого равен р.

На основании соотношения (20) можно привести ряд погрешностей неравноточных измерений к ряду погрешностей одинакового веса, равного единице: ∆₁√p₁, ∆₂√p₂,…, ∆_n√p_n. Естественно, что этот ряд обладает всеми свойствами случайных равноточных погрешностей, поэтому, заменив абсолютные погрешности ∆ на уклонения ν к нему можно применить уравнение Бесселя (7):

, (21)

где - уклонения результатов отдельных измерений от общего арифметического среднего.

Если обозначить общее арифметическое среднее через М₀, вес которого равен [р], то на основании соотношения (20) можно записать:

,

откуда окончательно получим

, (22)

т. е. средняя квадратическая погрешность общего арифметического среднего равна отношению средней квадратической погрешности неравноточных измерений одинакового веса, равного единице, к корню квадратному из веса общего арифметического среднего.