4. Средняя квадратическая погрешность суммы измеренных величин

Рассмотрим функцию, представляющую собой алгебраическую сумму двух величин:

z = x ± y, (9)

где х и у — независимые слагаемые.

Случайные погрешности слагаемых и их суммы при однократном измерении обозначим соответственно ∆х, ∆у и ∆ z, тогда

z + ∆z = (x + ∆x) ± (у + ∆у),

откуда

∆z = ∆x ± ∆у. (10)

Если каждое слагаемое было измерено п раз, то, написав п соотношений типа (10) и возведя каждое в квадрат, получим п выражений:

∆z_i² = ∆x_i² + ∆у_i² ± 2∆x_i∆y_i. (11)

Сложив левые и правые части и таких уравнений и разделив затем обе части равенства на n, получим:

, (12)

где [∆х∆y] есть сумма произведений случайных погрешностей, которая согласно четвертому свойству случайных погрешностей стремится к нулю при значительном числе измерений. Тогда, отбросив последнее слагаемое равенства (12), окончательно получим:

. (13)

В соответствии с формулой (6) можно написать:

m_z² = m_x² + m_y², (14)

где m_x, m_x, m_y— средние квадратические погрешности функции и аргументов.

По аналогии для алгебраической суммы n независимых величин

z = x₁ ± x₂ ±…± x_n

можно записать

m_z² — m_l² + m₂² ± ...± m_n², (15)

т.е. квадрат средней квадратической погрешности алгебраической суммы аргумента равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей слагаемых.

В частном случае, когда т₁ = т₂ =… =m_n = m, формула (15) примет вид:

m_z =√ n, (16)

т. е. средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений в √n раз больше средней квадратической погрешности одного слагаемого.

Например, если измерено 9 углов 30-секундным теодолитом, то средняя квадратическая погрешность угловых измерений составит т_β =30"√9 =±1,5'.

5. Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего

Арифметическое среднее определятся выражением (3), которое можно представить как:

,

где некоторое постоянное число. Если среднюю квадратическую погрешность арифметического среднего обозначить через M, а среднюю квадратическую погрешность одного измерения через т, то согласно (15) можно записать:

,

откуда

, (17)

т. е. средняя квадратическая погрешность арифметического среднего в √n раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения.

Это свойство средней квадратической погрешности арифметического среднего позволяет повысить точность измерений путем увеличения числа измерений. Например, требуется определить величину угла с точностью ±15" при наличии 30-секундного теодолита. Очевидно, что если измерить угол 4 раза и определить арифметическое среднее, то его средняя квадратическая погрешность согласно (17) составит ±15".

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего М показывает, в какой мере снижается влияние случайных погрешностей при многократных измерениях.