2. Арифметическое среднее

Если выполнен ряд равноточных измерений одной и той же величины (l₁, l₂, ..., l_n) и нет оснований для того, чтобы отдавать предпочтение одному из них, то, согласно последнему свойству случайных погрешностей, за окончательное значение измеренной величины следует принять среднее арифметическое результатов всех измерений:

. (3)

В формуле (3) сумма в числителе обозначена квадратными скобками, как это принято в теории погрешностей по Гауссу.

Поскольку Х есть истинное значение измеряемой величины, можно вычислить ряд соответствующих абсолютных погрешностей измерений:

∆₁=X – l₁; ∆₂=X – l₂; ∆_n= X – l_n. (4)

Сложив правые и левые части уравнений (4), получим

[∆]=nX – [l],

откуда

. (5)

Как следует из формулы (5), с увеличением числа измерений будет стремиться к нулю и, следовательно, при бесконечно большом числе измерений средняя арифметическая величина — будет равна истинному значению Х.

Поскольку на практике число измерений все же ограничено, то среднее арифметическое будет несколько отличаться от истинного значения измеряемой величины Х, однако при всяком n арифметическое среднее считают более надежным значением измеряемой величины.

2. Cредняя квадратическая погрешность измерений. Предельная погрешность

Для оценки степени точности ряда измерений одной и той же величины недостаточно знать арифметическое среднее погрешностей измерений, которое не является исчерпывающим показателем качества измерительных работ. Это связано прежде всего с тем, что при определении арифметического среднего в ряде измерений может быть не отражено наличие сравнительно крупных погрешностей разных знаков, поскольку последние взаимно компенсируются.

В связи с этим Гаусс предложил критерий оценки точности измерений, не зависящий от знаков отдельных сравнительно крупных погрешностей ряда — среднюю квадратическую погрешность измерений. Средняя квадратическая погрешность измерений — это корень квадратный из арифметического среднего квадратов истинных погрешностей:

. (6)

Поскольку истинное значение измеряемой величины Х не известно, то среднюю квадратическую погрешность т вычисляют по уклонениям ν_i, отдельных результатов измерений l_i от арифметического среднего :

ν_i =l_i - .

Через уклонения арифметического среднего среднюю квадратическую погрешность определяют по формуле Бесселя:

. (7)

Этой формулой и пользуются на практике для вычисления величины средней квадратической погрешности измерений.

Анализ кривой нормального распределения Гаусса (см. рис. 1) показывает, что при достаточно большом числе измерений одной и той же величины случайная погрешность измерения может быть:

больше средней квадратической т в 32 случаях из 100;

больше удвоенной средней квадратической 2т в 5 случаях из 100;

больше утроенной средней квадратической Зт в 3 случаях из 1000. Маловероятно, чтобы случайная погрешность измерения оказалась больше утроенной средней квадратической, поэтому утроенную среднюю квадратическую погрешность считают предельной:

. (8)

В качестве предельной часто принимают среднюю квадратическую погрешность, равную ∆_пр= 2,5т, с вероятностью ошибки, равной порядка 1%.