Элементы теории погрешностей измерений
1. Виды измерений. Равноточные измерения. Свойства случайных погрешностей
Измерением называют процесс сравнения измеряемой величины с другой, принятой за единицу измерения известной величиной.
Измерения различают: прямые, косвенные и дистанционные.
Прямые измерения основываются на использовании ряда простейших технических средств, например, длин линий землемерной лентой или рулеткой, и являются простейшими и в историческом плане первыми видами измерений.
Косвенные измерения основываются на использовании некоторых математических зависимостей между искомыми и непосредственно измеряемыми величинами. Например, площадь прямоугольника на местности определяют, измерив длины его сторон.
Дистанционные измерения основываются на использовании ряда физических процессов и явлений и, как правило, связаны с использованием современных технических средств: светодальномеров, электронных тахеометров, фототеодолитов и т.д.
На точность проводимых измерений влияют ряд факторов и условий: сам объект измерений, используемые единицы измерений, технические средства, технология и методы производства работ, состояние окружающей среды, опыт производителей работ и т. д. В связи с этим измерения, производимые в условиях, при которых все получаемые результаты можно считать одинаково надежными, называют равноточными и, наоборот, когда результаты нельзя считать одинаково надежными - неравноточ ными.
Поскольку геодезические работы предполагают прежде всего измерения, то последние производятся с неизбежными погрешностями. При многократном измерении одной и той же величины каждый раз получают несколько отличающиеся результаты как по абсолютной величине, так и по знакам, каким бы опытом не обладал исполнитель и какими бы высокоточными приборами он не пользовался.
Погрешности различают: грубые, систематические и случайные. Появление грубых погрешностей связано с серьезными ошибками и промахами при производстве измерительных работ. Поскольку обязательным принципом производства геодезических работ является контроль основных геодезических действий, то грубые погрешности сравнительно легко выявляются и устраняются.
Заранее определимы и могут быть сведены к необходимому минимуму путем введения соответствующих поправок и систематические погрешности. Например, заранее может быть учтено влияние кривизны Земли на точность определения вертикальных расстояний влияние температуры воздуха и атмосферного давления при определении длин линий светодальномерами или электронными тахеометрами, заранее можно учесть влияние рефракции атмосферы и т. д.
Если не допускать грубых погрешностей и устранять систематические, то качество измерений будет определяться только случайными погрешностями, которые неустранимы, однако их поведение подчиняется законам больших чисел, поэтому их можно анализировать, контролировать и сводить к необходимому минимуму.
Для уменьшения влияния случайных погрешностей на результаты измерений прибегают к многократным измерениям, к улучшению условий работы, выбирают более совершенные приборы, методы измерений и осуществляют тщательное их производство.
Сопоставляя ряды случайных погрешностей равноточных измерений можно обнаружить, что они обладают следующими свойствами:
а) для данного вида и условий измерений случайные погрешности не могут превышать по абсолютной величине некоторого предела;
б) малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще больших;
в) положительные погрешности появляются так же часто, как и равные им по абсолютной величине отрицательные;
г) среднее арифметическое из случайных погрешностей одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений.
Поведение случайных погрешностей в ряду равноточных измерений (их свойства) подчиняется закону нормального распределения Гаусса, графическое изображение которого представлено на рис. 1.
Рис. 1. Кривая нормального распределения случайных погрешностей Гаусса
Если обозначить точное значение какой-либо величины через Х, а ее измеренное значение через l, то абсолютная величина случайной погрешности и ее знак определятся разностью:
∆ = l – X (1)
Разность между результатом измерения некоторой величины l и ее истинным значением Х называют абсолютной (истинной) погрешностью.
Абсолютная погрешность не является, однако, исчерпывающе полным показателем точности выполненных работ. Например, если некоторая линия, фактическая длина которой составляет 1000 м, измерена землемерной лентой с ошибкой 0,50 м, а отрезок длиною 200 м — с ошибкой 0,20 м, то, несмотря на то, что абсолютная погрешность первого измерения больше второго, все же первое измерение было выполнено с точностью в два раза более высокой. Поэтому необходимо ввести понятие относительной погрешности:
.
(2)
Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины ∆ к самой этой величине l называют относительной погрешностью.
Относительные погрешности ε всегда выражаются дробью с числителем, равным единице. Так, в приведенном выше примере относительная погрешность первого измерения составляет 1/2000, а второго — 1/1000.