Глава 9. Обратное преобразование лапласа и переходные функции

Рассмотрим задачу получения и анализа импульсных переходных характеристик однозвенного нагруженного Г-образного LC-фильтра низких частот (ФНЧ).

Пусть ФНЧ коммутируют на источник постоянного тока U_вх при трёх значениях сопротивления нагрузки: 10·R (нагруженный режим),

100·R (нормальный режим), 1000·R (ненагруженный режим) (рис 2.53). Необходимо с применением обратного преобразования Лапласа полу- чить импульсные переходные характеристики для всех значений сопро- тивления нагрузки, определить время переходного процесса и перерегу- лирование. Результаты внести в таблицу.

_{L R}

^U ВХ

^{C R}НАГР

^U _ВЫХ

Рис. 2.53

_{Вводим в MathCAD исходные данные (рис. 2.54).}

Рис. 2.54

С учётом (2.15) запишем выражение для выходного напряжения

ФНЧ в операторной форме

^U ВЫХ

_{( s ) =} ^{U ВХ}

_s

_⋅ ¹

_{( L ⋅ s + R ) ⋅ ⎛ C ⋅ s +}

_,

_{1 ⎞ + 1}

₍ 2.16₎

_{⎜ ⎟}

_⎝ ^R_{НАГР ⎠}

где

^U ВХ

_s

– операторная форма входного напряжения, прикладываемого

ступенчато при коммутации ключа (рис. 2.53).

_{Упростим в MathCAD выражение (2.16) с применением оператора}

упрощения выражений simplify для

^R_НАГР1 ^{= 1000 ⋅ R}

(рис. 2.55).

Рис. 2.55

К выражению, полученному в результате упрощения, применим обратное преобразование Лапласа с учётом нулевых начальных условий (до коммутации токи и напряжения ФНЧ равны нулю) (рис. 2.56).

Рис. 2.56

_{Получаем переходную функцию ФНЧ в ненагруженном режиме}

₍

_{h1(t ) =} ¹⁰⁰⁰ ₋ ¹⁰⁰⁰ _{⋅ exp ( −55 ⋅ t ) ⋅ cos 5 ⋅}

^{1001 1001}

39919 ⋅ t ₎ −

_{( 2.17 )}

₋ ¹⁰⁰⁰

^3632629

⋅ exp ₍ −55 ⋅ t ₎ ⋅

39919 ⋅ sin ₍5 ⋅

39919 ⋅ t ₎

и вводим её в MathCAD. Напомним, что операция присвоения в Math-

CAD производится как :=.

_{Аналогично получим в MathCAD переходные функции ФНЧ:}

h2 ₍t ₎

h3₍t ₎

– в нормальном ( R_{НАГР 2} = 100 ⋅ R ) и

– в нагруженном режимах (рис. 2.57).

Рис. 2.57

Как видно из рис. 2.57 переходные процессы имеют колебатель-

_{ный характер с перерегулированием и стремятся при t→∞ к установив-}

шимся значениям

^h1(^∞ ) ^{≈ h1}(¹⁰⁰) ^,

^h2 (^∞ ) ^{≈ h2} (¹⁰⁰) ^,

^h3(^∞ ) ^{≈ h3}(¹⁰⁰) ^.

Переходный процесс

^h1(^t )

заканчивается, если

^h1(^t ) ^{≤ 1.05 ⋅ h1}(^∞ ) ^и

^h1(^t ) ^{≥ 0.95 ⋅ h1}(^∞ ) ^{, или, по-другому,}

^h1(^t ) ^{последний раз входит в зону}

допустимых отклонений

^h1(^∞ ) ^{± 0.05 ⋅ h1}(^∞ ) ^{. Время переходного про-}

_{цесса в MathCAD можно определить графически и численно. Переход-}

ный процесс

^h1(^t )

последний раз пересекает нижнюю границу зоны до-

пустимых отклонений при 0.051 с (рис. 2.58), верхнюю – при 0.054 с

^{(рис. 2.59), следовательно, t}_ПП1 ^{= 0.054 с .}

Рис. 2.58

Рис. 2.59

_{Аналогично в MathCAD определяем:}

– для

h2 ₍t ₎ время переходного процесса t_ПП2 = 0.029 с и

– для

h3₍t ₎

^{время переходного процесса t}_ПП3 ^{= 0.005 с .}

Перерегулирование для переходной характеристики

_{делим как}

h1₍t ₎

опре-

_{h1(tm1) − h1(∞ )}

_{h1(tm1) − h1(100)}

_{( 2.18)}

_{∆h1 = ⋅100% ≈ ⋅100% ,}

^h1(^∞ )

^h1(¹⁰⁰)

где tm1 – время достижения функцией

^h1(^t )

первого максимума.

Для определения tm1найдём в MathCAD производную

_{(рис. 2.60).}

h1₍t ₎

по t

Объявим функцию

^dh1(^t )

Рис. 2.60

(рис. 2.61).

_{Рис. 2.61}

Графически определим время

tm1в первом приближении (рис. 2.62).

tt1 = 0.00314 c , что соответствует

Рис. 2.62

_{Используя процедуру find и учитывая (2.18) определяем, что пе-}

ререгулирование переходной функции

_{(рис. 2.63).}

h1₍t ₎

составит

∆h1 = 84.117%

Рис. 2.63

_{Аналогично в MathCAD определяем:}

– для

^h2 (^t ) ^{перерегулирование}

∆h2 = 73.04% и

– для

^h3(^t )

перерегулирование

∆h3 = 13.04% .

Полученные в данной главе результаты внесём в табл. 2.1.

_{Таблица 2.1}

Показатель	Сопротивление нагрузки
	RНАГР1 = 1000 ⋅ R	RНАГР 2 = 100 ⋅ R	RНАГР 3 = 10 ⋅ R
Время переход- ного процесса	tПП1 = 0.054 с	tПП2 = 0.029 с	tПП3 = 0.005 с
Перерегулирова- ние	∆h1 = 84.117%	∆h2 = 73.04%	∆h3 = 13.04%

Как видно из табл. 2.1, с увеличением загруженности ФНЧ

_{уменьшается время переходного процесса и перерегулирование.}