4. Дифференциал функции многих переменных

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменным в этой точке приращения . Тогда функция получит (полное) приращение

.

Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют числа A₁, A₂, ... ,A_n, такие что

при , где . (Числа A₁, A₂, ... , A_n не зависят от .)

Если имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным, то она дифференцируема, причём   ,    , . . . , .

Линейная часть приращения функции называется дифференциалом (первого порядка) функции и обозначается или просто .

Если являются независимыми переменными, то

.

Для дифференциала функции многих переменных справедливы те же правила, что и для функции одного переменного: , , .

Дифференциал от первого дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается : . Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков: и т.д.

5. Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.

1. Найти область определения функции .

Ответ. Область определения представляет собой кольцо, т.е. множество значений x и y, удовлетворяющих неравенству .

2. Найти предел: 1) ; 2) .

Ответ. 1) Предел не существует; 2) .

3. Найти все частные производные первого порядка от функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

4. Найти производные второго порядка от функции .

5. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

6. Найти дифференциалы , для функции .

7. Вычислить приближенно .

Ответ. 1.

6. Задания для самостоятельного решения

1. Найти и изобразить область определения функции: 1)

2) 3) 4)

Ответ.

2. Найти предел: 1) ; 2) .

Ответ. 1) Предел не существует; 2) .

3. Найти для функции и значение частной производной в указанной точке (M).

;

;

.

Ответ. 1) 2) 3)

4. Доказать, что функция  удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных

5. Найдите указанные производные функции.

Ответ. 1) ; 2) .

6. Найдите du и для функции .

1) ; 2) .

Ответ. 1) ;

.

2) ;

.

7. Вычислить приближенно .

Ответ. 1,28.

Занятие №2.

1. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Если поверхность задана уравнением и – дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости, проведённой к поверхности ( ) в точке , имеет вид

.

Уравнение нормали к этой поверхности в той же точке имеет вид

.

2. Дифференцирование сложной функции

Пусть  – дифференцируемая функция от n переменных и пусть переменные , в свою очередь, являются дифференцируемыми функциями от переменных .

Тогда      становится дифференцируемой функцией от переменных и при этом

В частности, если зависят от одного переменного t , то u становится функцией от одного переменного t и

.

3. Дифференцирование неявно заданной функции

Пусть функция F(x; y) определена в области (D) и (a; b), (c, d) – проекции (D) на оси 0x и 0y соответственно. Говорят, что уравнение

F(x; y) = 0

в области (D) задаёт неявную функцию y = f(x) , если для любого уравнение имеет единственное решение (это решение и является правилом задания функции: каждому ставится в соответствие решение уравнения F(x; y) =0 ).

Если уравнение F(x; y) = 0 в (D) задаёт неявную функцию , F(x; y) дифференцируема в (D) и , то дифференцируема и

.

Вторая производная находится повторным дифференцированием последнего равенства.

Аналогично определяется неявная функция многих переменных. Пусть функция определена в области и – проекции (D) на n-мерную координатную плоскость и на ось 0u соответственно. Говорят, что уравнение

задаёт в (D) неявную функцию , если для любой точки уравнение имеет единственное решение . Если уравнение в области (D) задаёт неявную функцию , дифференцируема в (D) и всюду в (D), то функция является дифференцируемой и

.