2.Модели в сельском хозяйстве и биологии

Расчет оптимального рациона кормления

Пусть требуется рассчитать суточный рацион кормления голов крупного рогатого скота, например, нетелей. Известна суточная потребность на одну голову: не менее 8,8 кг кормовых единиц, не менее 980 г протеина, 36 г кальция, 32 г фосфора, 103 мг каротина и не более 19,6 кг сухого вещества. В распоряжении хозяйства имеются различные виды кормов, для которых содержание всех указанных веществ и стоимость единицы корма представлены в таблице.

Корма	Содержание в 1 кг корма						Себестоимость 1 кг корма, коп
	Кормовых единиц, кг	Переваримого протеина, г	Кальция, г	Фосфора, г	Каротина, мг	Сухого вещества, кг
Комбикорм	0,9	112	15	13	-	0,87	14,5
Сено луговое	0,42	48	6	2,1	15	0,85	3,4
Сено клеверотимофеечное	0,5	52	7,4	2,2	30	0,83	2,1
Солома овсяная	0,31	14	4,3	1	4	0,85	0,2
Силос кукурузный	0,2	14	1,5	0,5	15	0,23	0,6
Кормовая свекла	0,12	9	0,4	0,4	-	0,13	2,1

При этом на содержание в рационе различных видов кормов также накладываются ограничения из зоотехнических соображений, но в данной модели мы их не будем учитывать.

Требуется так рассчитать суточный рацион, чтобы были выполнены все указанные ограничения, и при этом стоимость рациона была минимальной.

Для решения задачи вводим управляемые переменные:

Х1 – количество комбикорма в рационе, кг;

Х2 – количество сена лугового в рационе, кг;

Х3 – количество сена клеверотимофеечного в рационе, кг;

Х4 – количество соломы овсяной в рационе, кг;

Х5 – количество силоса кукурузного в рационе, кг;

Х6 – количество кормовой свеклы в рационе, кг;

Представим теперь заданные в условии задачи ограничения с помощью формул.

Ограничение на количество кормовых единиц:

0,9Х1+0,42Х2+0,5Х3+0,31Х4+0,2Х5+0,12Х6 ≥ 8,8.; (1)

Ограничение на количество протеина:

112Х1+48Х2+52Х3+14Х4+14Х5+9Х6 ≥ 980. (2)

Ограничение на количество кальция:

15Х1+6Х2+7,4Х3+4,3Х4+1,5Х5+0,4Х6 ≥ 36. (3)

Ограничение на количество фосфора:

13Х1+2,1Х2+2,2Х3+Х4+0,5Х5+0,4Х6 ≥ 32. (4)

Ограничение на количество каротина:

15Х2+30Х3+4Х4+15Х5 ≥ 103. (5)

Ограничение на количество сухого вещества:

0,87Х1+0,85Х2+0,83Х3+0,85Х4+0,23Х5+0,13Х6 ≤ 19,6. (6)

Вводим тепень целевую функцию f – стоимость рациона:

f = 14,5Х1+3,4Х2+2,1Х3+0,2Х4+0,6Х5+2,1Х6  min.

Собрав все выведенные условия вместе, получаем следующую математическую модель задачи:

Найти неотрицательные значения переменных Х1, … , Х6, при которых выполняются ограничения (1) – (6), и при этом целевая функция f принимает минимальное значение.

Это оптимизационная модель. Заметим, что во все ограничения и целевую функцию все переменные входят линейным образом (то есть в первой степени и с постоянными коэффициентами). Это значит, что мы получили задачу линейного программирования.

Модель численности популяции

Пусть популяция данного биологического вида состоит из n особей. Требуется определить зависимость n от времени t. Для этого надо знать среднюю скорость r увеличения популяции за единицу времени в пересчете на одну особь. Она равна разности между средней рождаемостью и средней смертностью. Через указанные параметры получаем скорость увеличения популяции, равную rn. С другой стороны, скорость – это производная по времени. Получаем дифференциальное уравнение

= rn. (7)

Это уравнение имеет смысл, когда n достаточно большое. В этом случае благодаря массовости нивелируются случайные факторы, которые влияют на численность популяции: их влияние усредняется и не происходит существенных отклонений от расчетных значений. В то ж время увеличение численности вносит коррективы в смысл параметров, входящих в уравнение. Пока n не слишком велико по отношению к объему жизненного пространства, скорость размножения можно считать пропорциональной численности, то есть r считать константой. В этом случае решение дифференциального уравнения (7) имеет вид n = n₀e^rt, где n₀ – начальная численность популяции. Численность популяции возрастает в геометрической прогрессии.

Но с увеличением численности популяции из-за ограниченности ареала обитания начинается борьба за существование, которая приводит к снижению скорости роста численности. Чтобы отразить это в математической модели, можно ввести в рассмотрение предельную численность популяции К. Дифференциальное уравнение уточним, приведя к виду

= rn . (8)

Пока n мало по сравнению с K, уравнение (8) не отличается от уравнения (7), и возрастание численности идет по экспоненте. Но с увеличением n множитель в скобках стремится к 0, и это влияет на решение уравнения. График численности популяции, рассчитанный с помощью этого уравнения, имеет вид, показанный на рис.1.

Р ис.1

Построенная математическая модель является дескриптивной. Результаты, полученные на ее основе, проверялись для популяций различных видов – от млекопитающих до простейших. Проверка показывает адекватность этой модели.

Модель можно развивать, анализируя взаимодействие популяций; вводя в рассмотрение различные факторы, влияющие на численность популяции.