1.8 Логарифмічні нерівності
Як
відомо, логарифмічна функція
зростає
при а>1,
спадає – при 0<а<1.
Зі зростанням функції
у
першому випадку і спадання – у другому
випливає:
1)
При а>1
нерівність
рівносильна
системі
2) При 0<а<1 нерівність рівносильна системі
Як
правило, логарифмічна нерівність
зводиться до нерівностей виду
,
де
.
Якщо а>1, то нерівність рівносильна системі нерівностей
Якщо 0<а<1, то нерівність рівносильна системі нерівностей
Приклад
1.
Розв’яжіть нерівність
.
Розв’язання
Оскільки
,
то запишемо дану нерівність у вигляді
.
Оскільки функція
зростаюча
при х>0,
то маємо
Отже,
0<х<8.
Відповідь:
.
Приклад
2.
Розв’яжіть нерівність
.
Розв’язання
Оскільки
,
то
.
Одержана нерівність рівносильна системі
Розв’язком
першої нерівності є
.
Розв’язком другої нерівності є [-2;1].
Тоді
маємо
.
Відповідь: .
1.9 Системи логарифмічних рівнянь
При розв’язуванні систем логарифмічних рівнянь використовують такі самі способи, що й при розв’язуванні алгебраїчних систем.
Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь
Розв’язання
Додамо і віднімемо почленно рівняння системи, тоді одержимо:
Відповідь:
.
Приклад 2 Розв’яжіть систему рівнянь
Розв’язання
Тоді
маємо:
Перевіркою впевнюємося, що
(9;7), (7;9) – розв’язки системи.
Відповідь: (9;7), (7;9).
Розділ іі. Тестові завдання
Знайти область визначення ( область допустимих значень) рівняння
+
= 2
А |
Б |
В |
Г |
Д |
R |
(─∞ ;-1] |
[ 5; +∞ ) |
(─1; 5) |
[─1; 5] |
Вказати рівняння, коренем якого є число 2
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(x─2) |
(x─2) |
(x─2) |
(x─2) |
(x─2) |
=0
=0
=0
=0
=0
Знайти суму коренів рівнянь
=2,
=
─3,
=1,
А |
Б |
В |
Г |
Д |
─20 |
─18 |
0 |
12 |
9 |
Знайти множину розв’язків нерівності
>─3
А |
Б |
В |
Г |
Д |
R |
Ø |
(9; +∞ ) |
[0; +∞) |
(0; +∞) |
Розв’язати нерівність
4
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(─∞ ;16] |
(0; 2] |
[0; 2] |
(0; 16] |
[0; 16] |
Розв’язати нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Ø |
[─3; +∞) |
[─1; +∞) |
[─3; ─1] |
[1; 3] |
Розв’язати рівняння
=
125
А |
Б |
В |
Г |
Д |
R |
Ø |
23 |
3 |
5 |
Яке з наведених рівнянь має корені?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
= 0 |
= ─ ½ |
=
=½
=½
Розв’язати рівняння
=5
і
─3=0
та вказати суму їх коренів
А |
Б |
В |
Г |
Д |
0 |
1 |
8 |
9 |
11 |
Розв’язати рівняння
─
+
=39
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
Ø |
Розв’язати нерівність (
>
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(─∞ ; ] |
(0; 2] |
[0; 2] |
(─∞ ; 1) |
(─∞ ; ─1) |
Розв’язати нерівність
>
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(─∞ ; 5] |
(10;
+ |
(─ ; 10) |
(0; 10) |
Будь-яке дійсне число |
)
Розв’язати нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(─∞ ; 0) |
(0; + ) |
(─ ; -1) |
(1; + ) |
Ø |
Указати нейменший розв'язок нерівності
А |
Б |
В |
Г |
Д |
0 |
-4 |
4 |
-2 |
Ø |
Розв’язати рівняння
А
Б
В
Г
Д
Ø
-3
1
9
2
Розв’язати рівняння
А |
Б |
В |
Г |
Д |
25 |
27 |
12 |
9 |
2 |
Розв’язати рівняння
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Ø |
-16 |
|
|
16 |
Розв’язати рівняння
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Ø |
-3;2 |
-2;1 |
-2;3 |
-1;2 |
Скільки коренів має рівняння lg (x4−10x2) = lg3x3?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
жодного |
один |
два |
три |
чотири |
Розв’язати рівняння log6 (x − 2) + log6 (x −1) = 1 і вказати проміжок, якому належить його корінь.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(-2,1;-1,9) |
(3,9;4,1) |
(2,9;3,1) |
(1,9;3,1) |
(5,9;6,1) |
Розв’язати нерівність
>-2
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(-2,1;-1) |
(3;4) |
(2;3) |
(0,2;2) |
(5;6,1) |
Розв’язати нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(-2,1;-1) |
(3;4) |
(2;3) |
(0,2;2) |
(5;6) |
Розв’язати нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(─∞ ; 0) |
(3; + ) |
(─ ; -1) |
(1; + ) |
(10; + ) |
Задано три нерівності: 1)
0,001;
2)
;
3)
.
Які з них не мають розв'язків?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1і 2 |
2і3 |
1і3 |
1,2,3 |
Інша відповідь |
Розв’язати нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(─∞ ; 2) |
( |
(─ ; -3) |
(2; + ) |
( |
;
+
)
;
+
)
Знайти суму коренів рівняння
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
9 |
-9 |
3 |
-3 |
2 |
Розв’язати рівняння:
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-2; |
1,5 |
|
-3 |
-2 |
Розв’язати рівняння:
А |
Б |
В |
Г |
Д |
2 |
-1;2 |
3 |
-3 |
-2 |
Розв’язати рівняння:
А |
Б |
В |
Г |
Д |
5 |
-2 |
|
-2;5 |
2 |
Розв’язати нерівність
<1-
x
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
;+ |
;+ |
(− |
(− |
;+
;0,2
Розв’язати нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(− |
;+ |
;4] |
;4) |
0;4 |
Розв’язати нерівність
<1
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(− |
;+ |
;4] |
;3,5) |
(0;4) |
Розв’язати нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
0,2;3 |
(0,2;3] |
3 |
; + ) |
|
Розв’язати рівняння
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
0,5 |
-0,5 |
- |
5 |
Розв’язати рівняння
-3
=122
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-2 |
2 |
0 |
5 |
4 |
Розв’язати рівняння -
=
-55
А |
Б |
В |
Г |
Д |
2 |
3 |
-3 |
-5 |
4 |
Розв’язати рівняння
+5
=86
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-3 |
3 |
0 |
1 |
-1 |
Розв’язати нерівність
8
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-1 |
;+ |
(− |
;+ |
(− |
Розв’язати нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
[ |
;+ |
(− |
(− |
;+
Розв’язати нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
;+ |
;+ |
;+ |
(− |
(− |
;+
]
Розв’язати рівняння
А |
Б |
В |
Г |
Д |
19 |
2 |
9 |
2;14 |
14 |
Знайдіть суму квадратів коренів рівняння
=1-
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
5 |
10 |
13 |
26 |
Знайдіть суму коренів рівняння
А |
Б |
В |
Г |
Д |
12 |
15 |
10 |
13 |
11 |
44.
Укажіть число,яке НЕ Є коренем рівняння
А |
Б |
В |
Г |
Д |
15 |
5 |
3 |
6 |
2 |
45.
Знайдіть суму коренів рівняння
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
18 |
10 |
13 |
26 |
46.
Розв’яжіть
нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
0 |
x |
x |
x |
Нерівність не має розвязків |
47.
Розв’яжіть
нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(
; 1) |
( ; + ) |
(─
;
|
(1; + ) |
|
)
48. Який із наведених відрізків повністю міститься у множині розвязків нерівності
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
49.
Розв’яжіть
нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
Інша відповідь |
50.Розв’яжіть
нерівність
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
