1.5. Показникові нерівності

     Розв’язування показникових нерівностей часто зводяться до розв’язування нерівностей  або . Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1. Розв’яжіть нерівність .

Розв’язання

     Запишемо дану нерівність у вигляді . Оскільки 3>1, то функція  є зростаючою. Отже, при х<3 виконується нерівність .

Відповідь: (-∞;3).

     Приклад 2. Розв’яжіть нерівність  .

Розв’язання

     Запишемо дану нерівність у вигляді . Оскільки  – спадна функція, то .

Відповідь: .

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність:

• Розв’язання

З аміна дає нерівність розв'язки якої або ,

Отже ; (розв'язків немає) або звідки тобто

Відповідь:

1.6. Системи показникових рівнянь

     При розв’язуванні систем показникових рівнянь використовуються традиційні способи розв’язування показникових рівнянь і знайомі Вам способи розв’язування систем рівнянь.

     Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь 

Розв’язання

     Зробимо заміну , тоді матимемо систему: 

     Розв’яжемо систему рівнянь: 

     Отже, 

Відповідь: (2;1).

1.7 Логарифмічні рівняння

     Логарифмічними називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.

     Розв’язати логарифмічне рівняння – це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.

     Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд , де  . З означення логарифма випливає, що .

     Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння:

, де  .

     Із цього рівняння випливає, що х=b. Дійсно із рівності  на підставі означення логарифма і логарифмічної тотожності маємо:

 Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння

, де  .

      За означенням логарифма маємо : , звідси .

     В основному, усі логарифмічні рівняння зводяться до розв’язування найпростіших рівнянь.

     Зазначимо, що в прикладах використовуються тільки такі перетворення, які не призводять до втрати коренів, але можуть привести до одержання сторонніх коренів. Тому перевірка кожного з одержаних коренів обов’язкова, якщо немає впевненості у рівносильності рівнянь.

Основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебрагічного.

2. Метод потенціювання.

3. Метод зведення логарифмів до однієї основи.

4. Метод логарифмування.

5. Графічний метод розв’язування логарифмічних рівнянь.

Приклад 1. Розв´яжіть рівняння .

Розв’язання

     За означенням логарифма маємо: .

     Перевірка: .

Відповідь: 4.

Приклад 2. Розв´яжіть рівняння .

Розв’язання

     Із рівності логарифмів чисел випливає

x=6- ;

Перевірка:

1)    число -3 не є коренем даного рівняння, бо вираз  – невизначений;

2)               .

Відповідь: 2.

Приклад 3. Розв´яжіть рівняння .

Розв’язання

     За означенням логарифма маємо

.

     Перевірка:

1)               Значення х=0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма х+1 не повинна дорівнювати 1;

2)               .

Відповідь: 2.

Приклад 4. Розв´яжіть рівняння .

Розв’язання

     Позначимо . Дане рівняння набуває вигляду:

.

     Звідси .

     Перевірка:

1)     ; 2)    .

Відповідь: .

Приклад 5. Розв´яжіть рівняння .

Розв’язання

     Прологарифмуємо обидві частини рівності (х>0) і одержимо

.

     Замінимо . Рівняння набуває вигляду:

Тоді: 1) ; 2) .

     Перевірка:

1 )       . Отже, х=100 – корінь;

2)      

Отже, х=0,1 – корінь.

Відповідь: 100; 0,1

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання

.

     Перевірка: . Отже, х=3 – корінь.

Відповідь: 3.

Приклад 7. Розв’яжіть рівняння  графічно.

Розв’язання

     В одній і тій самій системі координат побудуємо графіки функції  і  .

     Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х=1 – корінь даного рівняння.

Відповідь: 1.

 Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам’ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.