Метод введення нових змінних

 Приклад 5. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Зробимо заміну змінної, поклавши .

Тоді .

Звідси дістаємо

Оскільки робилися лише еквівалентні перетворення, то початкове рівняння рівносильне такому: .

При перевірці переконуємось, що – корінь вихідного рівняння.

Відповідь: 1.

1.2 Системи ірраціональних рівнянь

Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання

ОДЗ: .

Розв’яжемо дану систему способом підстановки, для цього із другого рівняння системи виразимо через і підставимо у перше рівняння системи:

Окремо перетворимо перше рівняння системи, для цього піднесемо обидві його частини до кубу:

. Вираз замінимо на 4, тобто .

Піднесемо обидві частини останнього рівняння до кубу і отримаємо

.

Розв'язавши останнє квадратне рівняння, отримаємо корені тоді .

Відповідь: _, .

1.3 Ірраціональні нерівності

Нерівності виду , де - будь-яка ірраціональна функція, називаються ірраціональними нерівностями.

При розв’язуванні ірраціональних нерівностей використовуються ті ж прийоми, що і при розв’язуванні ірраціональних рівнянь: зведення обох частин нерівності до того самого натурального степеня, введення нових змінних, відокремлення радикала і т.д. Розглянемо найпростіші ірраціональні нерівності.

Приклад 7. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Область допустимих значень лівої частини нерівності , тобто . Звідси дістаємо, що початкова нерівність еквівалентна такій системі нерівностей:

Тобто

.

В ідповідь:

Ірраціональні нерівності виду розписують у вигляді системи нерівностей:

Ірраціональні нерівності виду розписують у вигляді сукупності двох систем раціональних нерівностей

Іншими словами, розглядаються випадки, коли права частина нерівності від’ємна, і коли вона невід’ємна.

Приклад 8.Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Якщо , то або, якщо , то і .

Відповідь:

1.4 Показникові рівняння

     Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах.

     Наприклад: рівняння  є показниковими.

      Найпростішим показниковими рівнянням є рівняння .

     Оскільки множина значень функції  - множина додатних чисел, то рівняння :

1. має один корінь, якщо b>0;

2. 

2)               не має коренів, якщо b≤0.

    Для того, щоб розв’язати рівняння , треба b подати у вигляді , тобі будемо мати , звідси х=с.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання

     Оскільки , а , то маємо , звідси х=3.

     Відповідь: 3.

     Приклад 2. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання

     Оскільки , то маємо , звідси х=-2.

     Відповідь: -2.

     Приклад 3. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання

     Оскільки , то , звідси х₁=2, х₂=3.

     Відповідь: 2; 3.

Приклад 4 . Розв'яжіть рівняння .

Розв’язання

Зведемо всі степені до двох основ 2 і 3:

М аємо однорідне рівняння. Для його розв'язування поділимо обидві частини на ;

З аміна дає рівняння:

Обернена заміна дає рівняння , звідки або - коренів немає.

Відповідь: 0

В інших випадках переносимо всі члени рівняння в одну частину і пробуємо розкласти одержаний вираз на множники або застосовуємо спеціальні прийоми розв'язування, у яких використовуємо властивості відповідних функцій.

Приклад 5. Розв´яжіть рівняння .

Розв’язання

Я кщо попарно згрупувати члени в лівій частині рівняння і в кожній парі винести за дужки спільний множник, то одержимо :

Виносимо за дужки спільний множник

Тоді або .

Одержуємо два рівняння 1) , звідки або 2) , звідки . Відповідь:

Приклад 6. Розв´яжіть рівняння .

Розв’язання

Ураховуючи, що , зводимо степені до однієї основи 2 та робимо заміну , маємо рівняння:

Обернена заміна дає рівняння , звідки або - коренів немає.

Відповідь: 1.