Проверка гипотезы об однородности нескольких векторов средних

2.5 При изучении межвыборочной вариации начальным этапом исследования является установление самого факта неслучайности этой изменчивости. В одномерной ситуации, когда рассматривались отдельные признаки, для этой цели применялся метод дисперсионного анализа, суть которого заключалась в следующем.

Пусть мы располагаем k выборками с числами наблюдений в них N₁, N₂, N₃, ..., N_k. Для каждой из выборок по некоторому признаку X были найдены средние

- 22 -

арифметические величины M₁, M₂, M₃, ..., M_k и средние квадратические отклонения s₁, s₂, s₃, ..., s_k. Для всей совокупности N = N₁ + N₂ + N₃ + ... + N_k наблюдений, можно найти общую среднюю арифметическую величину

N₁M ₁ + N₂M ₂ + N₃M ₃ + ... + N_kM _k

M_o = . (2.6)

N₁ + N₂ + N₃ + ... + N_k

По всем N наблюдениям из k выборок можно оценить общую вариацию, описываемую суммой квадратов отклонений отдельных наблюдений X_ij от общей средней M_o

_N

Q_o =  (X_ij - M_o)² , (2.7)

^{i, j}

где X_ij - j-е наблюдение в i-й выборке, суммирование проводится по всем наблюдениям во всех выборках. Общая изменчивость, наблюдаемая во всем материале и описываемая суммой Q_o, обладает определенной структурой. Один уровень вариации зависит от изменчивости средних арифметических величин M₁, M₂, M₃, ..., M_k по отношению к общей средней M_o. Это - так называемая межвыборочная (межгрупповая) изменчивость. Второй компонент общей вариации определяется внутривыборочной изменчивостью отдельных наблюдений X_ij по отношению к средним величинам M_i. В результате сумму Q_o можно представить в виде

_{N k N}

 (X_ij - M_o)² =  N_i (M_i - M_o)² +  (X_ij - M_i)² . (2.8)

^{i, j i i ,j}

Здесь первая часть суммы Q_o

Q_B =  N_i (M_i - M_o)² ,

описывающая межгрупповой компонент вариации, определяется отклонениями отдельных выборочных средних M_i от общей средней величины M_o. Каждое из этих отклонений взвешивается на объем выборки N_i. Суммирование проводится по всем выборкам от i=1 до i=k. Вторая часть общей суммы

Q_W =  (X_ij - M_i)² ,

измеряющая внутригрупповую изменчивость, зависит от вариации отдельных наблюдений по отношению к выборочным средним. Суммирование проводится по всем наблюдениям и по всем выборкам.

Очевидно, что

Q_o = Q_B + Q_W .

На основе компонентов qb и qw могут быть получены две дисперсии

Q_B Q_W

s_B² = и s_W² = . (2.9)

k - 1 N - k