2. Систематизация задач, включенных в индивидуальные задания
Для удобства студентов предвосхитим решение задач основными теоретическими сведениями, связанными с комплексными числами.
2.1. Основные теоретические сведения
1.
Понятие символа мнимой единицы
<=>
2.
Алгебраическая форма записи комплексного
числа
,
– действительная
часть комплексного числа (realis
– действительный),
– мнимая
часть комплексного числа (imaginaring
– мнимый),
3
.
Комплексное
число изображается точкой
на комплексной плоскости
с координатами
(рис. 1) или вектором, длиной (модулем)
,
образующим угол φ
с осью ox
(аргумент комплексного числа),
(рис.1)
Множество всех
возможных значений аргумента определяется
формулой:
,
.
Главные значения аргумента выбираются в промежутках
(0; 2π)
или (
).
Из рисунка 1 видно, что
;
.
4. При сложении комплексных чисел в алгебраической форме отдельно складываются их действительные и мнимые части
.
Геометрически это соответствует сложению векторов (рис. 2)
5.
Модуль разности двух комплексных чисел
определяет расстояние между точками
комплексной плоскости, которые
соответствуют этим числам (рис. 3).
6.
Умножение комплексного числа на
действительное число выполняется по
формуле
,
7.
Перемножаются комплексные числа в
алгебраической форме обычным образом
.
8.
Число
называется сопряжённым по отношению к
числу z
=
x
+ iy.
В
результате сложения и умножения
комплексного числа z
и сопряжённого к нему
,
получаем действительные числа
9. При деление комплексных чисел в алгебраической форме используется свойство сопряженных комплексных чисел
Эту формулу (как и формулу умножения) запоминать не следует, важно понимать, как она выводится и в конкретных случаях уметь выполнять необходимые действия).
10. Тригонометрическая форма комплексного числа
11. Показательная форма комплексного числа
12. Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах записи соответствуют изображению вектора в полярных координатах: на луче, направленном под углом φ, отмечается вектор длиной «r» (рис. 4)
13. Произведение комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи
Геометрически
произведение комплексных чисел в
тригонометрической и показательной
формах записи можно представить как
поворот вектора
на
против часовой стрелки (в положительном
направлении) с растяжением (сжатием)
его в |z2|
раз.
14. Деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи
При делении поворот вектора на будет совершаться по часовой стрелке, растягивая или сжимая z1 в раз.
15. При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени
16. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа, как действие, обратное возведению в степень, имеет ровно «n» различных корней и определяется формулой:
,
где k
= 
В
геометрической интерпретации корни
n-й
степени из комплексного числа соответствуют
точкам комплексной плоскости (
),
распложенным в вершинах правильного n
– угольника, вписанного в окружность
радиуса с центром в точке
,
или соответствующим векторам (рис. 5).