МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЖНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра «Высшая математика»

Е.Н. Рябинова, Р.Н. Хайруллина

Руководство к выполнению индивидуальных заданий

«Издательство СамГУПС»

Самара

2013

УДК 512.64+37.013.75

ББК 22.1

Рецензенты:

доктор педагогических наук, профессор Самарского государственного университета

имени С.П. Королева (национальный исследовательский университет)

М.Г. Резниченко

Кандидат физмат наук, доцент кафедры «Высшая математика»

Самарского государственного университета путей сообщения

Ю.В. Гуменникова

Рябинова Е.Н.

Самообразовательная деятельность студентов: изучаем комплексные числа. Руководство к выполнению индивидуальных заданий / Е.Н. Рябинова, Р.Н. Хайруллина. – Самара: СамГУПС, 2013. – 72 с.

Руководство создано для организации самообразовательной деятельности студентов при изучении комплексных чисел. Показано, что самообразование представляет собой феномен самостоятельности личности и формировать навыки самообразовательной деятельности удобно с помощью матричной модели, которая и используется для систематизации задач индивидуальных заданий. Поскольку цель предлагаемых индивидуальный заданий – освоить виды самообразовательной деятельности на репродуктивном уровне, то рассматриваются с подробным поэтапным решением задачи только двух уровней сложности. Надеемся, что предложенная систематизация и структуризация учебных действий, позволят студентам успешно справиться с учебными заданиями.

Предназначено для самообразовательной деятельности студентов первого курса как очной, так и заочной форм обучения.

УДК 512.64+37.013.75

ББК 22.1

© СамГУПС, 2013

© Рябинова Е.Н., 2013

© Хайруллина Р.Н., 2013

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………4

1. Организация самообразовательной деятельности студентов при выполнении индивидуальных заданий…………………………………………………………..6

2. Систематизация задач, включенных в индивидуальные задания……………11

2.1. Основные теоретические сведения из теории комплексных чисел…..11

2.2. Задачи первого уровня сложности………………………………………14

2.3. Задачи второго уровня сложности………………………………………20

3. Содержание индивидуальных заданий…………………………………………36

3.1. Порядок выполнения и защиты индивидуального задания……………36

3.2. Варианты индивидуальных заданий…………………………………….37

Библиографический список………………………………………………………..67

Введение

Тема «Комплексные числа» относится к мировоззренческим и основополагающим: она даёт возможность обучаемым понять теорию чисел в развитии – от множества натуральных чисел до точек комплексной плоскости (векторов). Более того, расширение понятия числа непосредственно связанно с историческим развитием мира и даёт понимание неизбежного изменения математического аппарата с эволюционным развитием общества. В частности, потребности в решении практических задач, связанных с мореплаванием, необходимостью составления географических карт, приводящих к решению уравнений вида:

x² + a² = 0 => x = (1),

стали возникать с XVI века. (В 1545 году итальянский учёный Д. Кардано (1501 – 1576гг) опубликовал работу, в которой, пытаясь решить уравнение x³ – 12x + 16 = 0, получил выражение ).

Следовательно, расширяя множество действительных чисел до нового множества, в котором должно выполняться действие извлечения корня из отрицательного числа, необходимо определить элемент

i = <=> (2).

Выражение (2) определяет понятие символа мнимой единицы и даёт возможность решить уравнение (1):

x = (3).

Название «мнимая единица» объясняется тем, что применение этого символа в XVI веке казалось чем-то реально не существующим, мнимым в буквальном смысле этого слова. В дальнейшем, появление мнимой единицы и расширение понятия действительных чисел до множества комплексных чисел (точек плоскости) дало толчок к развитию важнейшего раздела математики – теории функций комплексного переменного (вторая половина XVIII – начало XIX века).

Сама теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в XVIII веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в XVIII веке русский академик Л.Эйлер. В конце XVIII - начале XIXвв. было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датско-норвежский математик К. Вессель (1745 – 1818) и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой М (x,y) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что ещё удобнее изображать число не самой точкой, а вектором , направленным в эту точку из начала координат (рис. 1). Необходимо отметить важность геометрической интерпретации комплексных чисел и действий, выполняемых над ними. Основные разделы классического математического анализа приобретают полную ясность и законченность только при использовании комплексных чисел.

В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные. Они применяются в электротехнике, гидродинамике, аэромеханике, при вычерчивании географических карт и многих других науках. Изучение комплексных чисел особенно важно для студентов специальностей электротехнического профиля. При расчёте цепей синусоидального тока широко используется комплексный метод, то есть все параметры цепи представляются в комплексной форме. Главное достоинство этого метода состоит в том, что при его применении в анализе цепей переменного тока можно применять все известные методы анализа постоянного тока.

Введение комплексных чисел не является заключительным этапом в развитии понятия числа.

В настоящее время, в связи с модернизацией системы образования и переходом на двухступенчатое обучение (бакалавриат – магистратура), тема «Комплексные числа» в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике СамГУПС изучается в первом семестре. Тщательная проработка, усвоение основных понятий и самостоятельное выполнение индивидуальных заданий являются предпосылкой успешного применения данного раздела математики в дальнейшем.